Paralelogramo

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Um paralelogramo.

Um paralelogramo é um polígono de quatro lados (quadrilátero) cujos lados opostos são paralelos. Por consequência, tem ângulos opostos e lados opostos congruentes.[1][2]

Definição[editar | editar código-fonte]

Paralelogramo e suas diagonais e .

Um paralelogramo é um quadrilátero plano convexo cujos lados opostos são paralelos.

Elementos[editar | editar código-fonte]

Um paralelogramo tem:[1][2]

  • quatro lados - os segmentos de reta , , e ;
  • quatro vértices - os pontos , , e ;
  • quatro ângulos internos - os ângulos , , , ;
  • quatro ângulos externos - os respectivos ângulos suplementares dos ângulos internos;
  • duas diagonais - os segmentos de reta e .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Um paralelogramo possui:[1][2]

  1. lados opostos congruentes;
  2. ângulos opostos congruentes;
  3. suas diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios;
  4. ângulos consecutivos suplementares;
  5. a soma dos ângulos internos igual a ;
  6. a soma dos ângulos externos igual a ;

Observamos que todo quadrilátero convexo plano que possui uma das propriedades 1., 2. ou 3. é um paralelogramo. Existe, portanto, uma reciprocidade em relação a cada uma destas propriedades com a definição de paralelogramo dada acima.

Além disso, notamos que qualquer diagonal de um paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.

Demonstrações das propriedades[1][editar | editar código-fonte]

Paralelogramo: ângulos e lados opostos congruentes.

1. Lados opostos congruentes[editar | editar código-fonte]

Dado o paralelogramo , mostraremos que e . Para tanto, traçamos a diagonal . Como e , tomando como transversal temos que (alternos internos) e (alternos internos). Assim, pelo caso de congruência de triângulos ângulo, lado, ângulo (ALA) temos:

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero convexo plano, cujos lados opostos sejam congruentes é um paralelogramo. Com efeito, pela congruência de triângulos lado-lado-lado (LLL), temos que e , implica . Logo, são congruentes os ângulos e , o que implica . Um raciocínio análogo mostra que . Ou seja, lados opostos congruentes implica lados opostos paralelos. Isso conclui esta demonstração.

2. Ângulos opostos congruentes[editar | editar código-fonte]

Dado o paralelogramo , mostraremos que e . A partir da demostração anterior temos que:

e

.

Como então substituindo (2) em (3) temos:

.

E, temos ainda , que usando (1) fornece:

.

De (3) e (4), concluímos que . Para o caso o raciocínio é análogo.

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero convexo plano, cujos ângulos opostos são congruentes é um paralelogramo. Com efeito, temos e , logo . Como , segue que . Portanto, . Um raciocínio análogo prova que . Isso completa a prova.

3. Diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios[editar | editar código-fonte]

Figura para a demonstração da propriedade do paralelogramo.
Diagonais se intersectam no ponto médio.

Seja um paralelogramo e consideremos suas diagonais e . Denotamos por a interseção destas diagonais. Como e são paralelas, temos que os ângulos e são congruentes (ângulos alternos internos). Pelo mesmo motivo, são congruentes os ângulos e . Como e são congruentes, pela congruência ângulo-lado-ângulo (ALA) de triângulos, temos que:

Assim temos que é ponto médio de e , logo é ponto médio e intersecção das diagonais.

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero plano convexo, cujas diagonais interceptam-se nos seus pontos médios é um paralelogramo. Com efeito, seja o ponto de interseção das diagonais e . Como , e , temos da congruência de triângulos lado-ângulo-lado (LAL) que . Donde seque que . Analogamente, vemos que . Agora, da recíproca da propriedade 1. (lados opostos congruentes), temos que os lados opostos são paralelos, como queríamos demonstrar.

4. Ângulos consecutivos suplementares[editar | editar código-fonte]

Demonstração da propriedade

Seja um paralelogramo. Mostraremos que os ângulos consecutivos e são suplementares. Com efeito, como e são paralelas e é uma transversal, temos que (1) (ângulos correspondentes). Vemos, imediatamente, que e são suplementares, ou seja:

(2)

e substituindo (1) em (2) temos:

como queríamos demonstrar. As demonstrações para os demais ângulos consecutivos são análogas.

5. Soma dos ângulos internos[editar | editar código-fonte]

Segue imediatamente da propriedade 4. que a soma dos ângulos internos de um paralelogramo é .

6. Soma dos ângulos externos[editar | editar código-fonte]

Uma vez que em um paralelogramo os lados opostos são paralelos e os ângulos internos consecutivos são suplementares, temos que os ângulos externos consecutivos também são suplementares. Como são quatro, temos que a soma dos ângulos externos é .

Perímetro[editar | editar código-fonte]

Denotando por e os comprimentos de dois de seus lados não-paralelos, seu perímetro pode ser calculado através da fórmula abaixo:

Área[editar | editar código-fonte]

Paralelogramo de base e altura .

A área de um paralelogramo é dada por:[1]

onde, é o comprimento de qualquer um de seus lados e é a altura relativa a este lado, i.e. o comprimento do segmento de reta perpendicular que liga este lado ao seu oposto.

Equivalentemente, temos:[2]

onde, e são os comprimentos de dois lados adjacentes e é o ângulo definido por estes lados.

Ou, ainda, a área pode ser calculado por:

Paralelogramo , sendo o ponto de interseção de suas diagonais e .

onde, e são os comprimentos das diagonais do paralelogramo e é um dos ângulos definido pela interseção das diagonais. Com efeito, seja um paralelogramo (veja figura ao lado). Suas diagonais se interceptam em um ponto determinando quatro triângulos , , , . Do fato de que lados opostos de um paralelogramo serem congruentes e de que é ponto médio de ambas diagonais, temos que os triângulos e são congruentes, assim como os triângulos e . Notamos que a área do paralelogramo é a soma das áreas dos quatro triângulos. Ou seja, denotando por e os comprimentos das diagonais e , respectivamente, temos:

Aqui, é o menor ângulo definido pelas diagonais. Temos utilizado que a área de um triângulo pode ser calculada por:[1]

.

Por fim, como , segue o resultado desejado.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Existem três paralelogramos especiais:

Referências

  1. a b c d e f Dolce, O.; et al. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar Volume 9 - Geometria Plana 9 ed. Atual [S.l.] ISBN 9788535716863. 
  2. a b c d Bronshtein, I.N.; et al. (2007). Handbook of Mathematics 5 ed. Springer [S.l.] ISBN 9783540721215.