Partícula em um anel

Na mecânica quântica, o caso de uma partícula em um anel unidimensional é semelhante à partícula em uma caixa. A equação de Schrödinger para uma partícula livre que é restrita a um anel (tecnicamente, cujo espaço de configuração é o círculo $S^{1}$) é

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =E\psi$

Função de onda

Usando coordenadas polares no anel unidimensional de raio R, a função de onda depende somente da coordenada angular, e assim

$\nabla ^{2}={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}$

exigindo que a função de onda seja periódica em $\ \theta$ com um período $2\pi$ (da demanda de que as funções de onda sejam funções de valor único no círculo), e que elas sejam normalizadas leva às condições

$\int _{0}^{2\pi }\left|\psi (\theta )\right|^{2}\,Rd\theta =1\$,

e

$\ \psi (\theta )=\ \psi (\theta +2\pi )$

Nestas condições, a solução da equação de Schrödinger é dada por

$\psi _{\pm }(\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi R}}}\,e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\theta }$