Produto cap

Na topologia algébrica, o produto cap é um método de juntar uma cadeia de grau p com uma co-cadeia de grau q, tal que q ≤ p, para formar uma cadeia composta de grau p - q. Foi introduzido por Eduard Čech em 1936 e, independentemente, por Hassler Whitney em 1938.

Definição

(A)

Deixe $X$ ser um espaço topológico e $R$ um anel de coeficiente. O produto cap é um mapa bilinear de homologia e cohomologia singular.

$\frown \;:H_{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R).$

definido pela contração de uma cadeia singular $\sigma :\Delta \ ^{p}\rightarrow \ X$ com um complexo de cadeias singulares $\psi \in C^{q}(X;R),$ pela fórmula :

$\sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots ,v_{p}]}.$

Aqui, a notação $\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]}$ indica a restrição do mapa simplexo $\sigma$ a sua face estendida pelos vetores da base, veja Simplexo.

(B)

Deixe $X$ ser um espaço topológico e $R$ um anel comutativo. Para inteiros $i,j$ o produto cap é um mapa bilinear:

$H^{i}(X)\times H_{j}(X)\to H_{j-i}(X)$

Equivalentemente, é um mapa linear:

$H^{i}(X)\otimes H_{j}(X)\to H_{j-i}(X)$

O produto cap transforma a soma direta dos grupos de homologia em um módulo graduado sobre o anel de cohomologia, quando visto como uma álgebra $R$ graduada.

O produto máximo de $a$ e $b$ é denotado como:

$a\frown b$