Relação assimétrica

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Disambig grey.svg Nota: Não confundir com Relação antissimétrica

Em matemática, uma relação assimétrica é uma relação binária em um conjunto onde:

  • Para todos e em , se está relacionado a , então não está relacionado a .[1]

Na notação matemática, isto é:

Um exemplo é a relação "menor que" entre números reais: se , então necessariamente não é menor que . A relação "menor que ou igual" , por outro lado, não é assimétrica, porque a inversão, ex.: produz e ambos são verdadeiros. Em geral, qualquer relação em que vale para algum (isto é, que não é irreflexiva) também não é assimétrica.

A assimetria não é a mesma coisa que "não simétrica": a relação menor que ou igual é um exemplo de uma relação que não é nem simétrica nem assimétrica. A relação vazia é a única relação que é (por vacuidade) tanto simétrica quanto assimétrica.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Uma relação é assimétrica se e somente se for antissimétrica e irreflexiva.[2]
  • Restrições e conversas de relações assimétricas também são assimétricas. Por exemplo, a restrição de dos reais aos inteiros ainda é assimétrica, e o inverso de também é assimétrico.
  • Uma relação transitiva é assimétrica se e somente se for irreflexiva:[3] se e , a transitividade dá , contradizendo a irreflexividade.
  • Como consequência, uma relação é transitiva e assimétrica se e somente se for uma ordem parcial estrita.
  • Nem todas as relações assimétricas são ordens parciais estritas. Um exemplo de relação assimétrica não transitiva e até mesmo intransitiva é a relação pedra-papel-tesoura: se X vence Y, então Y não vence X; e se X vence Y e Y vence Z, então X não vence Z.
  • Uma relação assimétrica não precisa ter a propriedade conectiva. Por exemplo, é assimétrico e nenhum dos conjuntos e é um subconjunto estrito do outro.

Referências

  1. Gries, David; Schneider, Fred B. (1993), A Logical Approach to Discrete Math, Springer-Verlag, p. 273 .
  2. Nievergelt, Yves (2002), Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography, Springer-Verlag, p. 158 .
  3. Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). Transitive Closures of Binary Relations I (PDF). Prague: School of Mathematics - Physics Charles University. p. 1. Consultado em 20 de agosto de 2013. Arquivado do original (PDF) em 2 de novembro de 2013  Lemma 1.1 (iv). Note que esta fonte refere-se a relações assimétricas como "estritamente antissimétricas".