Relação simétrica

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Uma relação simétrica é um tipo de relação binária.[1][2] Um exemplo é a relação "é igual a", porque se é verdadeiro, então também é verdadeiro. Formalmente, uma relação binária sobre um conjunto é simétrica se e somente se:

[3]

Se representa o inverso de , então é simétrica se e somente se .[3][4]

A simetria, juntamente com a reflexividade e a transitividade, são as três propriedades definidoras de uma relação de equivalência.[4]

Representação[editar | editar código-fonte]

Seja uma relação simétrica ou assimétrica aplicada em um conjunto , então tem uma representação particular para cada modo de descrever uma relação binária.

Notação Relação simétrica Relação assimétrica
Como pares ordenados
Como matriz de adjacência Matriz cuja transposta é tal que Matriz cuja diagonal tem apenas zeros, isto é, e também produz uma matriz simétrica.
Como grafo É um grafo que pode ser representado como um grafo não direcionado. É um grafo direcionado sem laços ou ciclos.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Na matemática[editar | editar código-fonte]

Fora da matemática[editar | editar código-fonte]

  • "é casado com" (na maioria dos sistemas legais)
  • "é um irmão totalmente biológico de"
  • "é um homófono de"
  • "é colega de trabalho de"
  • "é companheiro de equipe de"

Relação com relações assimétricas e antissimétricas[editar | editar código-fonte]

Por definição, uma relação não vazia não pode ser simétrica e assimétrica (onde se está relacionado a , então não pode estar relacionado a (da mesma forma)). No entanto, uma relação pode ser nem simétrica nem assimétrica, que é o caso de "é menor ou igual a" e "presa em").

Simétrica e antissimétrica (onde a única maneira que pode estar relacionado a e estar relacionado a é se ) são na verdade independentes um do outro, como esses exemplos mostram.

Exemplos matemáticos
Simétrica Não simétrica
Antissimétrica igualdade "é menor ou igual a"
Não antissimétrica congruência na aritmética modular "é divisível por", sobre o conjunto de inteiros
Exemplos não matemáticos
Simétrica Não simétrica
Antissimétrica "é a mesma pessoa, e é casada" "é o plural de"
Não antissimétrica "é um irmão totalmente biológico de" "presas em"

Assimétrica antissimétrica[editar | editar código-fonte]

A relação simétrica não é o oposto da antissimétrica.[3][4]

Existem relações que são simétricas e antissimétricas ao mesmo tempo (como igualdade), outras que não são simétricas ou antissimétricas (como divisibilidade), outras que são simétricas mas não antissimétricas (como a relação de congruência do módulo de n) e outras que são antissimétricas, mas não simétricas (como a relação "menor que").

Aspectos adicionais[editar | editar código-fonte]

Uma relação simétrica também transitiva e reflexiva é uma relação de equivalência.[4]

Uma maneira de conceituar uma relação simétrica na teoria dos grafos é que uma relação simétrica é uma aresta, com os dois vértices da aresta sendo as duas entidades assim relacionadas. Assim, relações simétricas e grafos não direcionados são objetos combinativamente equivalentes.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Villalpando Becerra, José Francisco. Matemáticas discretas : aplicaciones y ejercicios. México D.F.: [s.n.] ISBN 9786074389258. OCLC 908045703 
  2. Johnsonbaugh, Richard.; Sánchez Ruiz, Ariadne. (2005). Matemáticas discretas 6a. ed ed. Naucalpan de Juárez: Pearson Educacion. ISBN 9702606373. OCLC 758150986 
  3. a b c Velleman, Daniel J.,. How to prove it : a structured approach Second edition ed. Cambridge: [s.n.] ISBN 0521861241. OCLC 62084309 
  4. a b c d Scheinerman, Edward R. (2011). Matemática discreta : uma introdução. São Paulo (SP): Cengage Learning. ISBN 9788522107964. OCLC 817274526