Em matemática, o teorema de Egorov é um dos principais teoremas da teoria da medida. Recebe o nome em honra ao físico e geômetra russo Dmitri Egorov.
O teorema estabelece um relação entre convergência quase-sempre e convergência uniforme em um espaço de medida finita.
Seja
uma medida positiva,
um conjunto mensurável de medida finita e
uma seqüência de funções reais convergindo quase-sempre para um função
, então para todo
existe um conjunto mensurável
tal que
e
uniformemente em
.
Defina os subconjuntos
de
:
![{\displaystyle E_{k,n}=\bigcap _{i\geq n}\left\{x\in E:|f_{i}(x)-f(x)|\leq {\frac {1}{k}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebad1f0d2055ed4b6b3dc3989998cead5bce7c9b)
Como
,
:
.
Ainda, como as funções
convergem
-quase-sempre para
, temos que, para todo
:
.
Fixe
. Dado que
, existe para cada
um inteiro
positivo tal que
.
Definindo:
![{\displaystyle F=\bigcap _{k\geq 1}E_{k,n_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32cc3d6a47028e263f41e81ca8425684d376ac76)
tem-se:
![{\displaystyle \mu (E\backslash F)=\mu \left(E\backslash \bigcap _{k\geq 1}E_{k,n_{k}}\right)\leq \sum _{k=1}^{\infty }\delta 2^{-k}=\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/554ac1796f2fb364a7ddf6d24054c5aac0c00c97)
Para mostrar que
de fato converge uniformemente para
em
, escolha
, e
inteiro positivo tal que
, escolha
e o resultado segue pois