Teorema de Egorov

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Em matemática, o teorema de Egorov é um dos principais teoremas da teoria da medida. Recebe o nome em honra ao físico e geômetra russo Dmitri Egorov.

O teorema estabelece um relação entre convergência quase-sempre e convergência uniforme em um espaço de medida finita.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja uma medida positiva, um conjunto mensurável de medida finita e uma seqüência de funções reais convergindo quase-sempre para um função , então para todo existe um conjunto mensurável tal que e uniformemente em .

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Defina os subconjuntos de :

Como , :

.

Ainda, como as funções convergem -quase-sempre para , temos que, para todo :

.

Fixe . Dado que , existe para cada um inteiro positivo tal que

.

Definindo:

tem-se:

Para mostrar que de fato converge uniformemente para em , escolha , e inteiro positivo tal que , escolha e o resultado segue pois