Teorema do ponto fixo de Kakutani

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Em análise matemática, o teorema do ponto fixo de Kakutani é um dos teoremas que garantem a existência de ponto fixo sob determinadas condições. O teorema fornece condições suficientes para que uma correspondência definida em um subconjunto convexo e compacto de um espaço euclidiano tenha um ponto fixo.

O teorema do ponto fixo de Kakutani é uma generalização do teorema do ponto fixo de Brouwer, que prova a existência de pontos fixos para funções contínuas definidas em conjuntos compactos e convexos de espaços euclidianos. Em 1941, Shizuo Kakutani estendeu este teorema de funções para correspondências (funções multi-valoradas).

Este teorema é usado para provar a existência do equilíbrio de Nash.[1]

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Antes de enunciar o teorema, é preciso definir alguns conceitos.

Uma correspondência ou multipliaplicação é uma função multivariada; existem duas formas de representar este conceito, ou como uma função que toma vários valores em B para cada ponto de A, ou, mais precisamente, como uma função , ou seja, uma função que associa a cada ponto um subconjunto não vazio .[2]

Uma multiaplicação cujo contradomínio B seja um subconjunto de é fechada (respectivamente convexa, aberta, etc) quando, para todo ponto , F(a) for um conjunto fechado (respectivamente convexo, aberto, etc).[2] O gráfico de uma multiaplicação é o subconjunto de formado pelos pares (ou seja, se a multiaplicação for vista como uma relação, é o gráfico da relação).

O teorema de Kakutani afirma então:[3]

  • Seja um conjunto compacto, convexo e não-vazio, e seja uma correspondência (multiaplicação) convexa cujo gráfico seja fechado. Então f tem um ponto fixo, ou seja, existe tal que .

Uma forma equivalente deste teorema é:[4]

  • Seja A não-vazio, compacto e convexo, contido no conjunto e seja uma correspondência hemi contínua superior e convexa, então f tem (pelo menos) um ponto fixo, ou seja, existe um tal que

Contra-exemplo[editar | editar código-fonte]

Uma função sem pontos fixos

A exigência de que seja um conjunto convexo para todo x é essencial para que o teorema funcione.

Considere a seguinte correspondência definida em [0,1]:

Esta correspondência não tem ponto fixo (não toca a linha vermelha no gráfico), apesar de satisfazer todos as condições do teorema de Kakutani exceto a convexidade em x = 0,5.


Referências

  1. Fioravante Patrone, Nash, Berge e Kakutani, 5. Dimostrazione del teorema di esistenza per equilibri di Nash [https://web.archive.org/web/20071009212003/http://www.diptem.unige.it/patrone/decisori_razionali_interagenti/Nash_Berge_Kakutani/Nash_Berge_Kakutani.pdf Arquivado em 9 de outubro de 2007, no Wayback Machine. [em linha]]
  2. a b Fioravante Patrone, Nash, Berge e Kakutani, 1. Multiaplicazioni e "best reply" [https://web.archive.org/web/20071009212003/http://www.diptem.unige.it/patrone/decisori_razionali_interagenti/Nash_Berge_Kakutani/Nash_Berge_Kakutani.pdf Arquivado em 9 de outubro de 2007, no Wayback Machine. [em linha]]
  3. Fioravante Patrone, Nash, Berge e Kakutani, 4. Teorema di Kakutani e teorema di Berge [https://web.archive.org/web/20071009212003/http://www.diptem.unige.it/patrone/decisori_razionali_interagenti/Nash_Berge_Kakutani/Nash_Berge_Kakutani.pdf Arquivado em 9 de outubro de 2007, no Wayback Machine. [em linha]]
  4. MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael D., e GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995. ISBN 978-0-19-507340-9. Mathematical Appendix "M.I Fixed Point Theorems", p. 953.