Trissecção do ângulo

Trissecção do ângulo é um dos problemas clássicos da geometria sobre construções com régua e compasso e consiste em, dado um ângulo qualquer, construir um outro com um terço de sua amplitude.

O problema era conhecido dos antigos gregos e a resposta — negativa — só foi obtida em 1837 pelo matemático francês Pierre Laurent Wantzel que mudou o foco da questão, passando a buscar uma prova de que o problema não teria solução. Wentzel apoiou-se sobretudo nos resultados de Gauss o qual afirmara no seu livro Disquisitiones Arithmeticae (publicado em 1801) que não era possível construir com régua e compasso um polígono regular com nove lados. Como é possível construir um triângulo regular com régua e compasso e como, para um tal triângulo, o ângulo formado pelos segmentos que unem o centro a dois dos seus vértices é de 120º, resulta daqui que o ângulo de 120º não pode ser trissectado somente com régua e compasso. No entanto Gauss nunca publicou uma demonstração do seu enunciado.

Aproximação geométrica

Trissecção aproximada

Considerando ∠AOB = 2a e ∠HOG = 2x, verifica-se que no triângulo ΔOCF temos que o ângulo ∠OCF = ½(a + x) pois é um ângulo inscrito na circunferência que compreende um arco de medida a + x, e também temos que ∠CFO = ½(a − x) pois ao prolongarmos a bissetriz obtemos um ângulo oposto ao ângulo ∠EOB = a pelo vértice, que por outro lado, ele é ângulo externo ao triângulo ΔOCF não adjacente aos ângulos ∠OCF = ½(a + x) e ∠CFO, então:

$C{\hat {F}}O=a-{\frac {a+x}{2}}={\frac {a-x}{2}}$

Utilizando a lei dos senos e cossenos no triângulo ΔOCF e considerando os lados OF e OC que medem respectivamente 2.r e r, onde r é o raio da circunferência construída temos:

${\frac {2.r}{\operatorname {sen} {\frac {a+x}{2}}}}={\frac {r}{\operatorname {sen} {\frac {a-x}{2}}}}\Longleftrightarrow {\frac {\operatorname {sen} {\frac {a-x}{2}}}{\operatorname {sen} {\frac {a+x}{2}}}}={\frac {1}{2}}\cdot$

Com a segunda igualdade chegamos a:

${\frac {(\operatorname {sen} \,a/2).(\cos x/2)-(\operatorname {sen} \,x/2).(\cos a/2)}{(\operatorname {sen} \,a/2).(\cos x/2)+(\operatorname {sen} \,x/2).(\cos a/2)}}={\frac {1}{2}}$

Dividindo o numerador e o denominador do primeiro membro da expressão anterior, temos: ${\frac {(\tan a/2)-(\tan x/2)}{(\tan a/2)+(\tan x/2)}}={\frac {1}{2}}$.

Com isso mostra-se que $\tan {\frac {x}{2}}={\frac {1}{3}}\tan {\frac {a}{2}}$. Conclui-se então que x é aproximadamente ${\frac {a}{3}}$.

Solução algébrica

Seja $\cos(\theta )\,$ um número construtível. Então o ângulo $\theta \,$ pode ser trissecado com régua e compasso se a equação polinomial $p(t)=4\ t^{3}\ -\ 3\ t-\cos(\theta )=0\,$ tiver uma solução construtível.

Por exemplo, o ângulo $\pi /3\,$ (60 graus) não é construtível, porque o polinômio $2\ p(t)=8\ t^{3}\ -\ 6\ t-1\,$ é irredutível (se não fosse, ele teria uma raiz racional da forma $p/q\,$ com $p=1\,$ ou $-1\,$ e $q=1,2,4\,$ ou $8\,$; é fácil verificar que nenhum destes número é raiz de $p(t)\,$.

A irreducibilidade de $p(t)\,$ mostra que as suas raízes são de grau 3, portanto não são construtíveis.

Construção geométrica

Traçado com régua e compasso:

• Trace uma circunferência auxiliar,
• Prolongue o segmento BO e determine o ponto C na circunferência,
• Prolongue o segmento AO e determine o ponto D na circunferência,
• Trace a bissetriz do ângulo AOB,
• O segmento EO tem a mesma medida do segmento EF,
• Ligue os pontos C e D no ponto F,
• Os pontos H e G dividem a circunferência em 3 partes iguais (aproximadamente).

Ver também

• Arquitas de Tarento

• Construções com régua e compasso
• Duplicação do cubo
• Hípias de Elis
• Hipócrates de Quio
• Lista de construções do desenho geométrico
• Quadratura do círculo
• Pierre Laurent Wantzel
• Tomahawk, uma ferramenta em geometria para a trissecção do ângulo.

Referências

• Boyer, Carl B. (1996). História da matemática. 2ª Edição. São Paulo. Edgard Blücher ltda. ISBN 85-212-0023-4.