Átomo (teoria da medida)

Em matemática, mais precisamente na teoria da medida, um átomo é um conjunto mensurável que possui medida positiva e não contém qualquer conjunto "menor" com medida positiva. Uma medida que não possui átomos é chamada de não-atômica.

Definição

Dado um espaço mensurável $(X, \Sigma)$ e uma medida $\mu$ sobre tal espaço, um conjunto $A$ em $\Sigma$ é chamado de átomo se

$\mu (A) >0\,$

e para qualquer subconjunto mensurável $B$ de $A$ com

$\mu(A) > \mu (B) \,$

tem-se $\mu(B)=0.$

Exemplos

• Considere o conjunto X={1, 2, ..., 9, 10} e a sigma-álgebra $\Sigma$ definida pelo conjunto potência de X. Defina a medida $\mu$ de um conjunto como sua cardinalidade, isto é, o número de elementos do conjunto. Então, cada um dos conjuntos unitários (com um único elemento) {i}, para i=1,2, ..., 9, 10 é um átomo.
• Considere a medida de Lebesgue sobre a reta real. Esta medida não possui átomos.

Referências

• Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S.. Real analysis. Upper Saddle River, N.J.: Prentice-Hall, 1997. page 108 p. ISBN 0-13-458886-X
• Butnariu, Dan; Klement, E. P.. Triangular norm-based measures and games with fuzzy coalitions. Dordrecht: Kluwer Academic, 1993. page 87 p. ISBN 0-7923-2369-6