Algoritmo de Floyd-Warshall

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Na ciência da computação, o algoritmo de Floyd-Warshall (também conhecido como: Floyd's algorithmRoy–Warshall algorithmRoy–Floyd algorithm, ou WFI algorithm) é um algoritmo que resolve o problema de calcular o caminho mais curto entre todos os pares de vértices em um grafo orientado (com direção) e valorado (com peso). O algoritmo Floyd-Warshall foi publicado por Robert Floyd em 1962. Este algoritmo é o mesmo que foi publicado por Bernard Roy em 1959 e também por Stephen Warshall em 1962 para determinar o fechamento transitivo de um grafo.[1] O formato atual do algoritmo de Floyd-Warshall com três loops de repetição foi descrito por Peter Ingerman em 1962.

O algoritmo é um bom exemplo de programação dinâmica.

Definição[editar | editar código-fonte]

O algoritmo de Floyd-Warshall recebe como entrada uma matriz de adjacência que representa um grafo (V, E) orientado e valorado. O valor de um caminho entre dois vértices é a soma dos valores de todas as arestas ao longo desse caminho. As arestas E do grafo podem ter valores negativos, mas o grafo não pode conter nenhum ciclo de valor negativo. O algoritmo calcula, para cada par de vértices, o menor de todos os caminhos entre os vértices. Por exemplo, o caminho de menor custo. Sua ordem de complexidade é \theta(|V|^3).

O algoritmo se baseia nos passos abaixo:

  • Assumindo que os vértices de um grafo orientado G são V = {1,2,3,\ldots,n}, considere um subconjunto {1,2,3\ldots,k};
  • Para qualquer par de vértices (i, j) em V, considere todos os caminhos de i a j cujos vértices intermediários pertencem ao subconjunto {1,2,3\ldots,k}, e p como o mais curto de todos eles;
  • O algoritmo explora um relacionamento entre o caminho p e os caminhos mais curtos de i a j com todos os vértices intermediários em {1,2,3\ldots,k-1};
  • O relacionamento depende de k ser ou não um vértice intermediário do caminho p.

Abaixo segue uma implementação em pseudocódigo do algoritmo de Floyd-Warshall:

ROTINA fw(Inteiro[1..n,1..n] grafo)
    # Inicialização
    VAR Inteiro[1..n,1..n] dist := grafo
    VAR Inteiro[1..n,1..n] pred
    PARA i DE 1 A n
        PARA j DE 1 A n
            SE dist[i,j] < Infinito ENTÃO
                pred[i,j] := i
    # Laço principal do algoritmo
    PARA k DE 1 A n
        PARA i DE 1 A n
            PARA j DE 1 A n
                SE dist[i,j] > dist[i,k] + dist[k,j] ENTÃO
                    dist[i,j] = dist[i,k] + dist[k,j]
                    pred[i,j] = pred[k,j]
    RETORNE dist

Aplicações[editar | editar código-fonte]

O algoritmo de Floyd-Warshall pode ser utilizado para resolver os problemas abaixo:

  • Caminhos mais curtos em grafos orientados (algoritmo de Floyd). Para funcionar, os valores de todas as arestas são configurados para o mesmo número positivo. Esse número é normalmente escolhido como único, tanto é que o valor de um caminho coincide com o número de arestas ao longo desse caminho;
  • Proximidade transitiva de grafos orientados (algoritmo de Warshall). Na formulação original deste último, o grafo se torna desvalorado (perde valores) e é representado por uma matriz booleana de adjacência. Depois, a operação de soma é substituída por conjunção lógica (E) e a operação de subtração por disjunção lógica (OU);
  • Encontrar uma expressão regular denotando a linguagem regular aceita por um autômato finito (algoritmo de Kleene);
  • Inversões de matrizes de números reais (algoritmo de Gauss-Jordan);
  • Roteamento otimizado. Nesta aplicação, o interesse é encontrar o caminho com o máximo fluxo entre dois vértices. Isto significa que, em vez de calcular o mínimo no pseudocódigo acima, calcula-se o máximo. Os pesos das arestas representam constantes fixas de fluxo. Valores do caminho representam gargalos, logo a operação de soma acima é substituída pela operação de subtração;
  • Testar se um grafo não-orientado é bipartido.[1]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

  • Algoritmo de Floyd-Warshall em C++ [1]
    • Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E., Rivest, Ronald L. (1990). Introduction to Algorithms (1st ed.). MIT Press and McGraw-Hill. ISBN 0-262-03141-8. Section 26.2, "The Floyd–Warshall algorithm", pp. 558–565; Section 26.4, "A general framework for solving path problems in directed graphs", pp. 570–576.