Algoritmo de Floyd-Warshall

Na ciência da computação, o algoritmo de Floyd-Warshall (às vezes chamado de algoritmo de Roy-Floyd ou algoritmo de Warshall) é um algoritmo que resolve o problema de calcular o caminho mais curto entre todos os pares de vértices em um grafo orientado (com direção) e valorado (com peso). Sua complexidade é cúbica.

Definição

O algoritmo de Floyd-Warshall recebe como entrada uma matriz de adjacência que representa um grafo (V,E) orientado e valorado. O valor de um caminho entre dois vértices é a soma dos valores de todas as arestas ao longo desse caminho. As arestas E do grafo podem ter valores negativos, mas o grafo não pode conter nenhum ciclo de valor negativo. O algoritmo calcula, para cada par de vértices, o menor de todos os caminhos entre os vértices. Por exemplo, o caminho de menor custo. Sua ordem de complexidade é θ( | V | ³).

O algoritmo se baseia nos passos abaixo:

• Assumindo que os vértices de um grafo orientado G são $V = {1,2,3,\ldots,n}$, considere um subconjunto ${1,2,3\ldots,k}$;
• Para qualquer par de vértices (i,j) em V, considere todos os caminhos de i a j cujos vértices intermediários pertencem ao subconjunto ${1,2,3\ldots,k}$, e p como o mais curto de todos eles;
• O algoritmo explora um relacionamento entre o caminho p e os caminhos mais curtos de i a j com todos os vértices intermediários em ${1,2,3\ldots,k-1}$;
• O relacionamento depende de k ser ou não um vértice intermediário do caminho p.

Abaixo segue uma implementação em pseudocódigo do algoritmo de Floyd-Warshall:

ROTINA fw(Inteiro[1..n,1..n] grafo)
    # Inicialização
    VAR Inteiro[1..n,1..n] dist := grafo
    VAR Inteiro[1..n,1..n] pred
    PARA i DE 1 A n
        PARA j DE 1 A n
            SE dist[i,j] < Infinito ENTÃO
                pred[i,j] := i
    # Laço principal do algoritmo
    PARA k DE 1 A n
        PARA i DE 1 A n
            PARA j DE 1 A n
                SE dist[i,j] > dist[i,k] + dist[k,j] ENTÃO
                    dist[i,j] = dist[i,k] + dist[k,j]
                    pred[i,j] = pred[k,j]
    RETORNE dist

Aplicações

O algoritmo de Floyd-Warshall pode ser utilizado para resolver os problemas abaixo:

• Caminhos mais curtos em grafos orientados (algoritmo de Floyd). Para funcionar, os valores de todas as arestas são configurados para o mesmo número positivo. Esse número é normalmente escolhido como único, tanto é que o valor de um caminho coincide com o número de arestas ao longo desse caminho;
• Proximidade transitiva de grafos orientados (algoritmo de Warshall). Na formulação original deste último, o grafo se torna desvalorado (perde valores) e é representado por uma matriz booleana de adjacência. Depois, a operação de soma é substituída por conjunção lógica (E) e a operação de subtração por disjunção lógica (OU);
• Encontrar uma expressão regular denotando a linguagem regular aceita por um autômato finito (algoritmo de Kleene);
• Inversões de matrizes de números reais (algoritmo de Gauss-Jordan);
• Roteamento otimizado. Nesta aplicação, alguém está interessado em encontrar o caminho com o máximo fluxo entre dois vértices. Isto significa que, em vez de calcular o mínimo no pseudocódigo acima, calcula-se o máximo. Os pesos da aresta representa constantes fixas de fluxo. Valores do caminho representam gargalos, logo a operação de soma acima é substituída pela operação de subtração;
• Testar se um grafo não-orientado é bipartido.

Ligações externas

• Uma implementação em Javascript está disponível em Alex Le's Blog