Conjunto aberto

Em topologia, um conjunto diz-se aberto se uma pequena variação de um ponto desse conjunto mantém-no no conjunto.

Definição em espaços topológicos

Ver artigo principal: espaço topológico

Em topologia, a noção de aberto é primitiva: uma topologia T em um conjunto X é definida como um subconjunto do conjunto das partes de X (satisfazendo determinadas propriedades), e cada elemento de T é chamado de um aberto ou conjunto aberto.

Abertos num espaço métrico

Ver artigo principal: espaço métrico

Um subconjunto de um espaço métrico $X\,\!$ é aberto se, para cada ponto $a\in X$, existe $\epsilon >0\,\!$ tal que a bola aberta $B(a,\epsilon )\,\!$ está contida em $X\,\!$.

Propriedades

• Em um espaço topológico ou espaço métrico X, o conjunto vazio e o próprio conjunto X são abertos.
• Um conjunto é aberto se e só se coincidir com o seu interior.
• Um conjunto é aberto se e só se o seu complementar for fechado.
• A interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.
• A união de qualquer quantidade (mesmo infinita) de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Abertos de $\mathbb {R}$

Como $\mathbb {R}$ (com a topologia usual) é um espaço métrico, um subconjunto $X\,\!$ de $\mathbb {R}$ é aberto se, para cada ponto $a\in \mathbb {R}$, existe $\epsilon \,\!$ tal que $(a-\epsilon ,a+\epsilon )\subset X$.

Em $\mathbb {R}$, um subconjunto é aberto se e só for reunião (possivelmente infinita) de intervalos abertos. O próprio conjunto dos números reais é um conjunto aberto.