Critérios de divisibilidade

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Critérios de divisibilidade são regras simples que permitem verificar se determinado número inteiro A é múltiplo de um inteiro B, baseando-se em propriedades da sua representação decimal.

Um número inteiro A é divisível por um inteiro B (diferente de 0) se, e somente se, existir um k inteiro tal que:

A = kB

A seguir estão apresentados critérios de divisibilidade (regras práticas) para números inteiros de 1 até 12, representados em sua forma decimal. Outros números naturais maiores que 12 também têm regras de divisibilidade, mas em geral pouco práticas.

Divisibilidade por 1[editar | editar código-fonte]

Todo número inteiro é divisível por 1.

Divisibilidade por 2[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 2 se o seu último dígito é divisível por dois, isto é, se o número termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6 ou 8. Neste caso, diz-se que o número é par.[1]

Exemplos:

  • 5040 é divisível por 2, pois termina em 0, que é divisível por dois.
  • 237 não é divisível por 2, pois 7 não é um número par
  • 7206 é divisível por 2, pois termina e 6, ou seja é par
  • 5483 não é divisível por 2, pois não é par

Divisibilidade por 3[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores dos digitos do número natural tem como resultado um outro número divisível por 3.[1] O resto será o mesmo que o deixado na divisão da soma dos valores absolutos do número por 3. Exemplos:

  • 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9,e como o nove é divisível por 3,então 234 é divisível por 3.
  • 111 é divisível por 3, pois a soma dos valores absolutos dos algarismos desse número é 3.
  • 156 é divisível por 3, pois a soma desses algarismos é igual a 12(1+5+6=12)e 12 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4[editar | editar código-fonte]

O número é divisível por 4 quando:

  • O penúltimo número for par e o último terminar em 0, 4 ou 8.
  • O penúltimo número for ímpar e o último terminar em 2 ou 6.

Por exemplo: 1324 é divisível por 4; 2 é par e o último número é 4. Porém: 2538 não é divisível por 4, uma vez que 3 é ímpar e o último número é 8 - não é 2 nem 6.

Divisibilidade por 5[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 5 quando o último algarismo for 0 ou 5.[1]

  • 125
  • 150
  • 81475

Exemplos:1-5-10-15-20-25-30-35-40-45-50-55-60-65-70-75-80-85-90-95-100- e muito mais

Divisibilidade por 6[editar | editar código-fonte]

Qualquer número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo:

Exemplo: 4962 é um número par, portanto é divisível por 2; Para saber se esse número é divisível também por 3, basta somar seus algarismos. Se o resultado dessa soma for divisível por 3 o número e divisivel por 6

Como 4962 é divisível ao mesmo tempo por 2 e por 3, conclui-se que ele é divisível por 6.

Divisibilidade por 7[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta um número divisível por 7 Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir: 9+9=18 4190-18=4172 2+2=4 417-4=413 3+3=6 41-6=35 que dividido por 7 é igual a 5.

Divisibilidade por 8[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 8 quando o antepenúltimo algarismo for par e os dois últimos formem um múltiplo de 8 (isto é: 00, 08, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 ou 96). Também são divisíveis por 8 os números com antepenúltimo algarismo ímpar e os dois últimos formando um múltiplo de 4 que não seja também múltiplo de 8 (isto é: 04, 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84 ou 92).

  • 10840 → 8 é par e 40 é múltiplo de 8
  • 15000 → 000
  • 49736 → 7 é ímpar e 36 é múltiplo de 4, mas não de 8,logo 49736 é divisível por 8

Outro critério: um número é divisível por 8 se os últimos três algarismos formarem um número divisível por 8.

Divisibilidade por 9[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.[1]

  • 72 → 7 + 2 = 9
  • 1494 → 1 + 4 + 9 + 4 = 18 → 1 + 8 = 9
  • 581472 → 5 + 8 + 1 + 4 + 7 + 2 = 27 → 2 + 7 = 9

Divisibilidade por 10[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

  • 5000
  • 15340
  • 505000
  • 1000
  • 500
  • 455
  • 5487

Divisibilidade por 11[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 11 caso a diferença entre o último algarismo (o algarismo da unidade) e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com dois algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como a regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 55, etc.) são múltiplos de 11.

  • 286 → 28 - 6 = 22 → 22 (por ser uma dezena dupla) é múltiplo de 11
  • 1331 → 133 - 1 = 132 → 13 - 2 = 11
  • 14641 → 1464 - 1 = 1463 → 146 - 3 = 143 → 14 - 3 = 11
  • 24350 → 2435 - 0 = 2435 → 243 - 5 = 238 → 23 - 8 = 15 → não é múltiplo de 11

Temos ainda outro método: Soma-se o 1º, o 3º, o 5º, o 7º algarismo; se a diferença da soma do 2º, o 4º, o 6º, o 8º algarismo; for múltiplo de 11 (incluindo o zero) então o número é divisível por 11

  • 94186565 → 9 + 1 + 6 + 6 = 22 → 4 + 8 + 5 + 5 = 22 → 22 - 22 = 0
  • 56568143 → 5 + 5 + 8 + 4 = 22 → 6 + 6 + 1 + 3 = 16 → 22 - 16 = 6

Ou então se a soma dos algarismos de posições pares e a soma dos algarismos de posições ímpares tiverem o mesmo resto da divisão por onze, então o número tomado é divisível por onze.

  • 4611686018427387901307445734561825860123058430092136939501844674407370955160168 \equiv 146 \pmod{11}
  • 4611686018427387903307445734561825860223058430092136939511844674407370955161171 \not\equiv 148 \pmod{11}

Divisibilidade por 12[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 12 caso também seja divisível por 3 e por 4.

  • 756 = 756:3 = 252; 756:4 = 189; 756:12 = 63
  • 672 = 6+7+2=15; 15:3 = 5; 7 é ímpar e 2 é o último número; 672:12 = 56

Divisibilidade por 17[editar | editar código-fonte]

Para saber se um número é divisível por 17: multiplica-se o último algarismo por 5, em seguida subtrai-se o restante do número pelo produto obtido anteriormente - sem o número que se utilizou para multiplicar por 5. Caso o número ainda seja grande, faz-se isso até chegarmos ao número que seja divisível por 17.

  • 19074 → 4 x 5 = 20 → 1907 - 20 = 1887 → 7 x 5 = 35 → 188 - 35 = 153 → 3 x 5 = 15 → 15 - 15 = 0
  • 221 → 1 x 5 = 5 → 22 - 5 = 17
  • 238 → 8 x 5 = 40 → 23 - 40 = -17

Divisibilidade por 25[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 25 quando termina em 00, 25, 50 ou 75.

  • 275 → 75
  • 3825 → 25

Outros critérios de divisibilidade[editar | editar código-fonte]

Potências de 2[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 2^N quando seus últimos N algarismos forem 0 ou divisíveis por 2^N. Alguns exemplos:

  • Divisibilidade por 16: (2^4) quando os últimos quatro algarismos forem 0 ou divisíveis por 16;
  • Divisibilidade por 32: (2^5) quando os últimos cinco algarismos forem 0 ou divisíveis por 32;
  • Divisibilidade por 64: (2^6) quando os últimos seis algarismos forem 0 ou divisíveis por 64.

Números compostos com fatores não-múltiplos entre si[editar | editar código-fonte]

Um número será divisível por outro número nessas condições caso seja divisível também por cada um dos fatores que o compõem. Alguns exemplos:

  • Divisibilidade por 14: quando é divisível por 7 e por 2 (7 x 2 = 14);
  • Divisibilidade por 15: quando é divisível por 3 e por 5 (3 x 5 = 15);
  • Divisibilidade por 24: quando é divisível por 3 e por 8 (3 x 8 = 24);
  • Divisibilidade por 35: quando é divisível por 7 e por 5 (7 x 5 = 35);
  • Divisibilidade por 50: quando é divisível por 2 e por 25 (2 x 25 = 50).

Entretanto, a regra não pode ser aplicada para números compostos de fatores múltiplos um do outro, como 16 (8 x 2) uma vez que todo múltiplo de 8 também é múltiplo de 2.

Divisibilidade por múltiplos de 10[editar | editar código-fonte]

  • Divisibilidade por 10: quando, como dito anteriormente, terminar em 0
  • Divisibilidade por 100: quando é terminado em 00
  • Divisibilidade por 1000: quando é teminado em 000, e assim por diante.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. a b c d Couceiro (1866), p. 116

Referências[editar | editar código-fonte]

  • da Costa, J. M. Couceiro. Tratado de arithmetica. [S.l.]: Editora Imprensa Nacional, 1866.