Critérios de divisibilidade

Critérios de divisibilidade são regras simples que permitem verificar se determinado número inteiro A é múltiplo de um inteiro B, baseando-se em propriedades da sua representação decimal.

Um número inteiro A é divisível por um inteiro B (diferente de 0) se, e somente se, existir um k inteiro tal que:

A = kB

A seguir estão apresentados critérios de divisibilidade (regras práticas) para números inteiros de 1 até 12, representados em sua forma decimal. Outros números naturais maiores que 12 também têm regras de divisibilidade, mas em geral pouco práticas.

Divisibilidade por 1

Todo número inteiro é divisível por 1.

Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 se o seu último dígito é divisível por dois, isto é, se o número termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6 ou 8. Neste caso, diz-se que o número é par.

Exemplos:

• 5040 é divisível por 2, pois termina em 0, que é divisível por dois.
• 237 não é divisível por 2, pois 7 não é um número par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores dos digitos do numero natural tem como resultado um outro número divisível por 3. O resto será o mesmo que o deixado na divisão da soma dos valores absolutos do número por 3. Exemplos:

• 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9,e como o nove é divisível por 3,então 234 é divisível por 3.
• 111 é divisível por três pois a soma dos valores absolutos dos algarismos desse número é 3.

Divisibilidade por 4

O número é divisível por 4 quando o número formado por seus dois últimos algarismos for divisível por 4 (isto inclui os números que terminam com 00). Por exemplo, 36248900 e 35374928 são divisíveis por 4.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 quando o último algarismo for 0 ou 5.

• 125
• 150
• 81475

Divisibilidade por 6

Qualquer número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo:

Exemplo: 4962 é um número par, portanto é divisível por 2; Para saber se esse número é divisível também por 3, basta somar seus algarismos. Se o resultado dessa soma for divisível por 3, então 4962 também será divisível por 3. (Confira: 4+9+6+2 = 21 ==> 21 é divisível por 3)

Como 4962 é divisível ao mesmo tempo por 2 e por 3, conclui-se que ele é divisível por 6.

Divisibilidade por 7

Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta um número divisível por 7 Exemplo:41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir: 9+9=18 4190-18=4172 2+2=4 417-4=413 3+3=6 41-6=35 que dividido por 7 é igual a 5!

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando o antepenúltimo algarismo for par e os dois últimos formem um múltiplo de 8 (isto é: 00, 08, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 ou 96). Também são divisíveis por 8 os números com antepenúltimo algarismo ímpar e os dois últimos formando um múltiplo de 4 que não seja também múltiplo de 8 (isto é: 04, 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84 ou 92).

• 10840 → 8 é par e 40 é múltiplo de 8
• 15000 → 000
• 49736 → 7 é ímpar e 36 é múltiplo de 4, mas não de 8,logo 49736 é divisível por 8

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.

• 72 → 7 + 2 = 9
• 1494 → 1 + 4 + 9 + 4 = 18 → 1 + 8 = 9
• 581472 → 5 + 8 + 1 + 4 + 7 + 2 = 27 → 2 + 7 = 9
• 55641 → 5 + 5 + 6 + 4 + 1 = 21 → 2 + 1 = 3

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

• 50
• 15340
• 5050

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 caso a diferença entre o último algarismo (o algarismo da unidade) e o nº formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um nº com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como a regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 55, etc.) são múltiplos de 11.

• 286 → 28 - 6 = 22 → 22 (por ser uma dezena dupla) é múltiplo de 11
• 1331 → 133 - 1 = 132 → 13 - 2 = 11
• 14641 → 1464 - 1 = 1463 → 146 - 3 = 143 → 14 - 3 = 11
• 24350 → 2435 - 0 = 2435 → 243 - 5 = 238 → 23 - 8 = 15 → não é múltiplo de 11

Temos ainda outro método: Soma-se o 1º, o 3º, o 5º, o 7º algarismo; se a diferença da soma do 2º, o 4º, o 6º, o 8º algarismo; for múltiplo de 11 (incluindo o zero) então o número é divisível por 11

• 94186565 → 9 + 1 + 6 + 6 = 22 → 4 + 8 + 5 + 5 = 22 → 22 - 22 = 0
• 56568143 → 5 + 5 + 8 + 4 = 22 → 6 + 6 + 1 + 3 = 16 → 22 - 16 = 6

Ou então se a soma dos algarismos de posições pares e a soma dos algarismos de posições ímpares tiverem o mesmo resto da divisão por onze, então o número tomado é divisível por onze.

• 4611686018427387901307445734561825860123058430092136939501844674407370955160 → $168 \equiv 146 \pmod{11}$
• 4611686018427387903307445734561825860223058430092136939511844674407370955161 → $171 \not\equiv 148 \pmod{11}$

Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 caso também seja divisível por 3 e por 4.

• 756 = 756:3 = 252; 756:4 = 189; 756:12 = 63

• 672 = 6+7+2=15; 15:3 = 5; 7 é ímpar e 2 é o último número; 672:12 = 56

Divisibilidade por 17

Um número é divisível por 17 quanto o quíntuplo do último algarismo, subtraído do número que não contem este último algarismo, tiver como resultado um número que é dividido por 17. Caso o número obtido ainda for grande, o processo é repetido, até que a divisão de o resultado 17. Em resumo: Tira-se o último algarismo e multiplica por 5 e subtrai do restante do número sem o respectivo número que foi multiplicado.

• 19074 → 4 x 5 = 20 → 1907 - 20 = 1887 → 7 x 5 = 35 → 188 - 35 = 153 → 3 x 5 = 15 → 15 - 15 = 0
• 221 → 1 x 5 = 5 → 22 - 5 = 17
• 238 → 8 x 5 = 40 → 23 - 40 = -17

Divisibilidade por 25

Um número é divisível por 25 quanto termina em 00, 25, 50 ou 75.

• 275 → 75
• 3825 → 25

Outros critérios de divisibilidade

Potências de 2

Um número é divisível por $2^N$ quando seus últimos N algarismos forem 0 ou divisíveis por $2^N$. Alguns exemplos:

• Divisibilidade por 16: ($2^4$) quando os últimos quatro algarismos forem 0 ou divisíveis por 16;
• Divisibilidade por 32: ($2^5$) quando os últimos cinco algarismos forem 0 ou divisíveis por 32;
• Divisibilidade por 64: ($2^6$) quando os últimos seis algarismos forem 0 ou divisíveis por 64.

Números compostos com fatores não-múltiplos entre si

Um número será divisível por outro número nessas condições caso seja divisível também por cada um dos fatores que o compõem. Alguns exemplos:

• Divisibilidade por 14: quando é divisível por 7 e por 2 (7 x 2 = 14);
• Divisibilidade por 15: quando é divisível por 3 e por 5 (3 x 5 = 15);
• Divisibilidade por 24: quando é divisível por 3 e por 8 (3 x 8 = 24);
• Divisibilidade por 35: quando é divisível por 7 e por 5 (7 x 5 = 35);
• Divisibilidade por 50: quando é divisível por 2 e por 25 (2 x 25 = 50).

Entretanto, a regra não pode ser aplicada para números compostos de fatores múltiplos um do outro, como 16 (8 x 2) uma vez que todo múltiplo de 8 também é múltiplo de 2.

Ligações externas

• Critérios de divisibilidade
• Critérios de Divisibilidade - até 15

Referências

• da Costa, J. M. Couceiro. Tratado de arithmetica. [S.l.]: Editora Imprensa Nacional, 1866.