Equilíbrio de motores de combustão interna

Em um motor a pistão, as massas em movimento alternativo produzem forças de inércia que quando não adequadamente tratadas provocam vibrações.

Cinemática de um Sistema Biela Manivela

Diagrama de um sistema biela manivela

Definições

l = comprimento da biela
r = raio do eixo de manivelas (metade do curso)
Θ = ângulo da manivela em relação a linha de centro do cilindro
x = Posição do pistão
v = Velocidade do pistão
a = Aceleração do pistão
ω = Velocidade angular do eixo de manivelas

Descrição

Conforme o eixo de manivelas gira, o pistão P se desloca ao longo do eixo do centro do cilindro executando um movimento alternativo. A partir do Ponto Morto Superior (PMS), o pistão acelera até atingir a velocidade máxima, quando então começa a desacelerar até atingir o Ponto Morto Inferior (PMI), quando então inverte a trajetória.

Velocidade Angular

A velocidade angular (rad/s) pode ser calculada a partir do número de rotações por minuto (RPM):

$\omega ={\frac {2\pi \cdot RPM}{60}}$

Posição

A aplicação da lei dos cossenos ao diagrama fornece a posição do pistão:

$l^{2}=r^{2}+x^{2}-2rx\cos \theta$

$x^{2}-2xr\cos \theta +(r^{2}-l^{2})=0$

Fazendo

$y=r\cos \theta$

$z=(r^{2}-l^{2})$

temos:

$x^{2}-2xy+z=0$

Resolvendo pela formula quadrática e substituindo de volta y e z, temos:

$x=r\cos \theta +{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta }}$

expressando em termos da velocidade angular, temos:

$\theta =\omega t$

$x=r\cos {(\omega t)}+{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}(\omega t)}}=r\left[\cos {(\omega t)}+{\sqrt {\left({\frac {l}{r}}\right)^{2}-\sin ^{2}(\omega t)}}\right]$

Velocidade

A primeira derivada da equação da posição fornece a velocidade do pistão:

$v={\frac {dx}{dt}}=-r\omega \sin {(\omega t)}\left[1+{\frac {\cos {(\omega t)}}{\sqrt {\left({\frac {l}{r}}\right)^{2}-\sin ^{2}{(\omega t)}}}}\right]$

Na grande maioria dos casos $r\leq {\frac {l}{3}}$, fazendo com que $r^{2}\sin ^{2}{(\omega t)}$ seja muito pequeno, podendo ser ignorado:

$v=-r\omega \sin {(\omega t)}-{\frac {r^{2}\omega \sin {(2\omega t)}}{2l}}$

Aceleração

A derivada da velocidade fornece a aceleração do pistão:

$a={\frac {dv}{dt}}=-r\omega ^{2}\left\{\cos(\omega t)+{\frac {\cos(2\omega t)}{\left[\left({\frac {l}{r}}\right)^{2}-sin^{2}(\omega t)\right]^{1/2}}}+{\frac {\sin ^{2}(\omega t)cos^{2}(\omega t)}{\left[\left({\frac {l}{r}}\right)^{2}-sin^{2}(\omega t)\right]^{3/2}}}\right\}$

Para $r\leq {\frac {l}{3}}$, (e considerando $l>>r\sin {(\omega t)}$), a derivada fica:

$a={\frac {dv}{dt}}=-r\omega ^{2}\cos {(\omega t)}-{\frac {r^{2}\omega ^{2}\cos {(2\omega t)}}{l}}$

Em termos do ângulo da manivela temos:

$a=-r\omega ^{2}\cos {\theta }-{\frac {r^{2}\omega ^{2}\cos {(2\theta )}}{l}}$

Rearranjando:

$a=-r\omega ^{2}\left[\cos {\theta }+{\frac {r}{l}}\cos {(2\theta )}\right]$

Dinâmica de um Motor com Cilindros em Linha

As massas em movimento alternativo produzem forças de inércia e binários, que se não forem equilibrados, irão gerar vibrações
.

Forças de Inércia

Se m é a massa das partes em movimento alternativo (pistão e parte da biela), a força de inércia é igual a:

$F=mr\omega ^{2}\left[\cos {(\theta )}+{\frac {r}{l}}\cos {(2\theta )}\right]$

$F=F_{p}+F_{s}$

onde
$F_{p}=mr\omega ^{2}\cos {(\theta )}$ é a força primeira ordem, com frequência igual à rotação do motor e $F_{s}=mr\omega ^{2}{\frac {r}{l}}\cos {(2\theta )}$ é a força de segunda ordem, com frequência igual a 2 vezes a rotação do motor.

Equilíbrio de Motores Multicilíndricos em Linha

Em um motor de n cilindros em linha com ignição igualmente espaçada, o intervalo $\phi$ entre as explosões é igual a:

$\phi ={\frac {360}{n}}$ em motores de 2 tempos e

$\phi ={\frac {720}{n}}$ em motores de 4 tempos.

A força de inércia de cada pistão é dada por:

$F_{1}=mr\omega ^{2}\left[\cos {(\theta +\phi _{1})}+{\frac {r}{l}}\cos {2(\theta +\phi _{1})}\right]$

$F_{2}=mr\omega ^{2}\left[\cos {(\theta +\phi _{2})}+{\frac {r}{l}}\cos {2(\theta +\phi _{2})}\right]$

e assim por adiante.

$F_{i}=mr\omega ^{2}\left[\cos {(\theta +\phi _{i})}+{\frac {r}{l}}\cos {2(\theta +\phi _{i})}\right]$

A soma total das forças de inércia é então igual a:

$F=\sum _{i=1}^{n}F_{i}=mr\omega ^{2}\sum _{i=1}^{n}\left[\cos {(\theta +\phi _{i})}+{\frac {r}{l}}\cos {2(\theta +\phi _{i})}\right]$

mas

$\cos(\theta +\phi _{i})=\cos {\theta }\cdot \cos {\phi _{i}}-\sin {\theta }\cdot \sin {\phi _{i}}$

Substituindo temos:

${F=m\omega ^{2}r\left[\cos \theta \sum _{i=1}^{n}\cos \phi _{i}-\sin \theta \sum _{i=1}^{n}\sin \phi _{i}+{\frac {r}{l}}\cos {(2\theta )}\sum _{i=1}^{n}\cos {(2\phi _{i})}-{\frac {r}{l}}\sin {(2\theta )}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {sen} {(2\phi _{i})}\right]}$

Condições de Equilíbrio das Forças de Inércia

Equilíbrio das Forças de Primeira Ordem

$\sum _{i=1}^{n}\cos \phi _{i}=0$

$\sum _{i=1}^{n}\sin \phi _{i}=0$

Equilíbrio das Forças de Segunda Ordem

$\sum _{i=1}^{n}\cos(2\phi _{i})=0$

$\sum _{i=1}^{n}\sin(2\phi _{i})=0$

Condições de Equilíbrio dos Binários

O equilíbrio as forças de inércia não garante o motor não irá vibrar em decorrência da atuação de binários. Tomando como referência o cilindro número 1 e considerando d como a distancia entre os cilindros temos:

$B_{1}=F_{1}\cdot d_{1}$

$B_{2}=F_{2}\cdot d_{2}$

$B_{3}=F_{3}\cdot d_{3}$

e assim por diante...

$B_{i}=F_{i}\cdot d_{i}$

Se fizermos B igual a soma dos binários temos:

$B=\sum _{i=1}^{n}F_{i}d_{i}$

${\color {black}B=m\omega ^{2}r\color {red}\left[\cos \theta \sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos \phi _{i}-\sin \theta \sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin \phi _{i}+\color {blue}{\frac {r}{l}}\cos(2\theta )\sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos(2\phi _{i})-{\frac {r}{l}}\sin(2\theta )\sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin(2\phi _{i})\right]}$

com a parte em vermelho representando os binários de primeira ordem e a parte em azul os de segunda ordem.

As condições de equilíbrio dos binários podem então ser escrita como:

Binários de primeira ordem

$\sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos \phi _{i}=0$

$\sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin \phi _{i}=0$

Binários de segunda ordem

$\sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos(2\phi _{i})=0$

$\sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin(2\phi _{i})=0$

Efeitos sobre o motor

Dependendo da existência de forças de inércia ou de binários teremos os seguintes efeitos sobre o motor:

$F=0\land M=0\Rightarrow$ Completamente equilibrado

$F\neq 0\land M=0\Rightarrow$ Desequilíbrio causado por força de inércia

$F=0\land M\neq 0\Rightarrow$ Desequilíbrio causado por binário

$F\neq 0\land M\neq 0\Rightarrow$ Desequilíbrio causado por força de inércia. A distancia $L$ do ponto de atuação da força em relação ao plano de referência é dada por $L={\frac {B}{F}}$

Exemplo: Motor de três cilindros em linha - quatro tempos

$\phi ={\frac {720}{3}}=240^{0}$

Ordem de ignição: 1,3,2

Tabela de Equilíbrio

Tabela de equilibrio

Φ	Inércia 1a ordem cosΦ	Inércia 1a ordem senΦ	2Φ	Inércia 2a ordem cos2Φ	Inércia 2a ordem sen2Φ	d	Binário 1a ordem dcosΦ	Binário 1a ordem dsenΦ	Binário 2a ordem dcos2Φ	Binário 2a ordem dsen2Φ
0	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0
240	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	480	$-{\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	2d	$-d$	$-d{\sqrt {3}}$	$-d$	$d{\sqrt {3}}$
120	$-{\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	240	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	d	$-{\frac {d}{2}}$	$d{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {d}{2}}$	$-d{\frac {\sqrt {3}}{2}}$
$\sum$	$0$	$0$		$0$	$0$		$-{\frac {3}{2}}d$	$-d{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {3}{2}}d$	$d{\frac {\sqrt {3}}{2}}$

Força de inércia de primeira ordem: equilibrado
Força de inércia de segunda ordem: equilibrado
Binário de primeira ordem: desequilibrado
Binário de segunda ordem: desequilibrado

Binário de primeira ordem

$B_{p}=m\omega ^{2}r\left[\cos \theta \sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos \phi _{i}-\sin \theta \sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin \phi _{i}\right]$

$B_{p}=m\omega ^{2}r\left[-{\frac {3d}{2}}\cos \theta +{\frac {d{\sqrt {3}}}{2}}\sin \theta \right]$

$B_{p}=m\omega ^{2}r{\frac {d}{2}}\left[-3\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta \right]$

Sendo

$acos\alpha +bsen\alpha ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}sen(\alpha +\phi )$

$a\cos \alpha -b\sin \alpha =-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(\alpha -\phi )$

$\tan \phi ={\frac {a}{b}}$

Temos

$-3\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta ={\sqrt {9+3}}\sin(\alpha +\phi )={\sqrt {4\cdot 3}}\sin(\alpha +\phi )=2{\sqrt {3}}\sin(\alpha +\phi )$

$\tan \phi ={\frac {-3}{\sqrt {3}}}={\frac {-3{\sqrt {3}}}{3}}=-{\sqrt {3}}$

Portanto

$\phi =-60$

e o binário de primeira ordem é igual a:

$B_{p}={\sqrt {3}}m\omega ^{2}rd\sin(\theta -60)$

O valor máximo do binário ocorrerá quando $\sin(\theta -60)=1$,ou seja, quando $\theta =150$ graus.

Binário de segunda ordem ordem

$B_{s}=m\omega ^{2}r\left[{\frac {r}{l}}\cos(2\theta )\sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos(2\phi _{i})-{\frac {r}{l}}\sin(2\theta )\sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin 2\phi _{i}\right]$

$B_{s}={\frac {r}{l}}m\omega ^{2}r\left[-{\frac {3d}{2}}\cos(2\theta )-{\frac {d{\sqrt {3}}}{2}}\sin 2\theta \right]$

$B_{s}={\frac {r}{l}}m\omega ^{2}r{\frac {d}{2}}\left[-3\cos(2\theta )-{\sqrt {3}}\sin 2\theta \right]$

$B_{s}=-{\sqrt {3}}{\frac {r}{l}}m\omega ^{2}rd\sin(2\theta +60)$

Exemplo: Motor de quatro cilindros em linha - quatro tempos

$\phi ={\frac {720}{4}}=180^{0}$

Ordem de ignição: 1,3,4,2

Tabela de Equilíbrio

Tabela de equilibrio

Φ	Inércia 1a ordem cosΦ	Inércia 1a ordem senΦ	2Φ	Inércia 2a ordem cos2Φ	Inércia 2a ordem sen2Φ	d	Binário 1a ordem dcosΦ	Binário 1a ordem dsenΦ	Binário 2a ordem dcos2Φ	Binário 2a ordem dsen2Φ
0	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0
180	$-1$	$0$	360	$1$	$0$	2d	$-2d$	$0$	$2d$	$0$
0	1	0	0	1	0	3d	3d	0	3d	0
180	$-1$	$0$	360	$1$	$0$	d	$-d$	$0$	$d$	$0$
$\sum$	$0$	$0$		$4$	$0$		$0$	$0$	$6d$	$0$

Força de inércia de segunda ordem

$F=m\omega ^{2}r\left[{\frac {r}{l}}\cos(2\theta )\sum _{i=1}^{n}\cos(2\phi _{i})-{\frac {r}{l}}\sin(2\theta )\sum _{i=1}^{n}\sin(2\phi _{i})\right]$

Substituindo temos:

$F=m\omega ^{2}r\left[4{\frac {r}{l}}\cos(2\theta )\right]$

$F=4{\frac {r}{l}}m\omega ^{2}r\cos(2\theta )$

Como

$F\neq 0\land M\neq 0\Rightarrow$ Desequilíbrio causado por força de inércia. A distancia $L$ do ponto de atuação da força em relação ao cilindro numero 1 é dada por $L={\frac {6d}{4}}=1,5d$

Ver também

• Motor de combustão interna