Equilíbrio de motores de combustão interna

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Em um motor a pistão, as massas em movimento alternativo produzem forças de inércia que quando não adequadamente tratadas provocam vibrações.

Cinemática de um Sistema Biela Manivela[editar | editar código-fonte]

Diagrama de um sistema biela manivela

Definições[editar | editar código-fonte]

l = comprimento da biela
r = raio do eixo de manivelas (metade do curso)
Θ = ângulo da manivela em relação a linha de centro do cilindro
x = Posição do pistão
v = Velocidade do pistão
a = Aceleração do pistão
ω = Velocidade angular do eixo de manivelas

Descrição[editar | editar código-fonte]

Conforme o eixo de manivelas gira, o pistão P se desloca ao longo do eixo do centro do cilindro executando um movimento alternativo. A partir do Ponto Morto Superior (PMS), o pistão acelera até atingir a velocidade máxima, quando então começa a desacelerar até atingir o Ponto Morto Inferior (PMI), quando então inverte a trajetória.

Velocidade Angular[editar | editar código-fonte]

A velocidade angular (rad/s) pode ser calculada a partir do número de rotações por minuto (RPM):

\omega=\frac{2 \pi \cdot RPM}{60}

Posição[editar | editar código-fonte]

A aplicação da lei dos cossenos ao diagrama fornece a posição do pistão:

l^2=r^2+x^2-2\cdot r\cdot x\cdot cos\theta
x^2-2\cdot x\cdot (r\cdot cos\theta+(r^2-l^2)=0

fazendo

y=r\cdot cos\theta
z=(r^2-l^2)

temos:

x^2-2\cdot x\cdot y+z=0

Resolvendo pela formula quadrática e substituindo de volta y e z, temos:

x=r\cdot cos\theta+\sqrt{l^2-r^2\cdot sen^2\theta}

expressando em termos da velocidade angular, temos:

\theta=\omega\cdot t
x=r\cdot cos(\omega\cdot t)+\sqrt{l^2-r^2\cdot sen^2(\omega\cdot t)}

Velocidade[editar | editar código-fonte]

A primeira derivada da equação da posição fornece a velocidade do pistão:

v=\frac{dx}{dt}=r\cdot \omega\cdot sen(\omega\cdot t)+\frac{r^2\cdot \omega\cdot sen(2\cdot \omega\cdot t)}{2\cdot \sqrt{l^2-r^2\cdot sen^2(\omega\cdot t)}}


Na grande maioria dos casos r \le \frac{l}{3}[1] , fazendo com que r^2\cdot sen^2(\omega\cdot t) seja muito pequeno, podendo ser ignorado:

v=r\cdot \omega\cdot sen(\omega\cdot t)+\frac{r^2\cdot \omega\cdot sen(2\cdot \omega\cdot t)}{2\cdot l}

Aceleração[editar | editar código-fonte]

A derivada da velocidade fornece a aceleração do pistão:

a=\frac{dv}{dt}=r\cdot \omega^2\cdot cos(\omega\cdot t)+\frac{r^2\cdot \omega^2\cdot cos(2\cdot \omega\cdot t)}{l}

Em termos do ângulo da manivela temos:

a=r\cdot \omega^2\cdot cos(\theta)+\frac{r^2\cdot \omega^2\cdot cos(2\cdot \theta)}{l}

Rearranjando:

a=r\cdot \omega^2\left [cos(\theta)+\frac{r}{l}\cdot cos(2\cdot \theta)\right ]

Dinâmica de um Motor com Cilindros em Linha[editar | editar código-fonte]

As massas em movimento alternativo produzem forças de inércia e binários, que se não forem equilibrados, irão gerar vibrações
.

Forças de Inércia[editar | editar código-fonte]

Se m é a massa das partes em movimento alternativo (pistão e parte da biela), a força de inércia é igual a:

F=m\cdot r\cdot \omega^2\left [cos(\theta)+\frac{r}{l}\cdot cos(2\cdot \theta)\right ]
F=F_p+F_s

onde
F_p=m\cdot r\cdot \omega^2 \cdot cos(\theta) é a força primeira ordem, com frequência igual à rotação do motor e F_s=m\cdot r\cdot \omega^2\cdot \frac{r}{l}\cdot cos(2\cdot \theta) é a força de segunda ordem, com frequência igual a 2 vezes a rotação do motor.

Equilíbrio de Motores Multicilíndricos em Linha[editar | editar código-fonte]

Em um motor de n cilindros em linha com ignição igualmente espaçada, o intervalo \phi entre as explosões é igual a:

\phi=\frac {360}{n} em motores de 2 tempos e


\phi=\frac {720}{n} em motores de 4 tempos.

A força de inércia de cada pistão é dada por:

F_1=m\cdot r\cdot \omega^2\left [cos(\theta+\phi_1)+\frac{r}{l}\cdot cos2( \theta+\phi_1)\right ]


F_2=m\cdot r\cdot \omega^2\left [cos(\theta+\phi_2)+\frac{r}{l}\cdot cos2( \theta+\phi_2)\right ]

e assim por adiante.

F_i=m\cdot r\cdot \omega^2\left [cos(\theta+\phi_i)+\frac{r}{l}\cdot cos2( \theta+\phi_i)\right ]

A soma total das forças de inércia é então igual a:

F=\sum_{i=1}^{n}F_i=m\cdot r\cdot \omega^2 \sum_{i=1}^{n} \left [cos(\theta+\phi_i)+\frac{r}{l}\cdot cos2( \theta+\phi_i)\right ]

mas

cos(\theta+\phi_i)=cos\theta\cdot cos\phi_i - sin\theta \cdot sen\phi_i



Substituindo temos:

{\color{red}F= m\omega^2r\left [cos\theta \sum_{i=1}^{n}cos\phi_i-sen\theta  \sum_{i=1}^{n}sen\phi_i +\frac{r}{l}cos2\theta \sum_{i=1}^{n}cos2\phi_i-\frac{r}{l}sen2\theta\sum_{i=1}^{n}sen2\phi_i \right ]}

Condições de Equilíbrio das Forças de Inércia[editar | editar código-fonte]

Equilíbrio das Forças de Primeira Ordem

\sum_{i=1}^{n}cos\phi_i=0
\sum_{i=1}^{n}sen\phi_i=0


Equilíbrio das Forças de Segunda Ordem

\sum_{i=1}^{n}cos2\phi_i=0
\sum_{i=1}^{n}sen2\phi_i=0

Condições de Equilíbrio dos Binários[editar | editar código-fonte]

O equilíbrio as forças de inércia não garante o motor não irá vibrar em decorrência da atuação de binários. Tomando como referência o cilindro número 1 e considerando d como a distancia entre os cilindros temos:

B_1=F_1\cdot d_1
B_2=F_2\cdot d_2
B_3=F_3\cdot d_3

e assim por diante...

B_i=F_i\cdot d_i

Se fizermos B igual a soma dos binários temos:

B=\sum_{i=1}^{n}F_id_i
{\color{black}B= m\omega^2r\color{red}\left [cos\theta \sum_{i=1}^{n}d_icos\phi_i-sen\theta  \sum_{i=1}^{n}d_isen\phi_i +\color{blue}\frac{r}{l}cos2\theta \sum_{i=1}^{n}d_icos2\phi_i-\frac{r}{l}sen2\theta\sum_{i=1}^{n}d_isen2\phi_i \right ]}

com a parte em vermelho representando os binários de primeira ordem e a parte em azul os de segunda ordem.

As condições de equilíbrio dos binários podem então ser escrita como:

Binários de primeira ordem

\sum_{i=1}^{n}d_icos\phi_i=0
\sum_{i=1}^{n}d_isen\phi_i=0


Binários de segunda ordem

\sum_{i=1}^{n}d_icos2\phi_i=0
\sum_{i=1}^{n}d_isen2\phi_i=0

Efeitos sobre o motor[editar | editar código-fonte]

Dependendo da existência de forças de inércia ou de binários teremos os seguintes efeitos sobre o motor:

F=0 \land M=0\Rightarrow Completamente equilibrado
F\ne0 \land M=0 \Rightarrow Desequilíbrio causado por força de inércia
F=0 \land M\ne0 \Rightarrow Desequilíbrio causado por binário
F\ne0 \land M\ne0 \Rightarrow Desequilíbrio causado por força de inércia. A distancia L do ponto de atuação da força em relação ao plano de referência é dada por L=\frac{B}{F}

Exemplo: Motor de três cilindros em linha - quatro tempos[editar | editar código-fonte]

\phi=\frac{720}{3}=240^0


Ordem de ignição: 1,3,2

Tabela de Equilíbrio[editar | editar código-fonte]

Tabela de equilibrio
Φ Inércia
1a ordem
cosΦ
Inércia
1a ordem
senΦ
Inércia
2a ordem
cos2Φ
Inércia
2a ordem
sen2Φ
d Binário
1a ordem
dcosΦ
Binário
1a ordem
dsenΦ
Binário
2a ordem
dcos2Φ
Binário
2a ordem
dsen2Φ
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
240 -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} 480 -\frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 2d -d -d\sqrt{3} -d d\sqrt{3}
120 -\frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 240 -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} d -\frac{d}{2} d\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{d}{2} -d\frac{\sqrt{3}}{2}
\sum 0 0 0 0 -\frac{3}{2}d -d\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{3}{2}d d\frac{\sqrt{3}}{2}


Força de inércia de primeira ordem: equilibrado
Força de inércia de segunda ordem: equilibrado
Binário de primeira ordem: desequilibrado
Binário de segunda ordem: desequilibrado

Binário de primeira ordem[editar | editar código-fonte]

B_p= m\omega^2r\left [cos\theta \sum_{i=1}^{n}d_icos\phi_i-sen\theta  \sum_{i=1}^{n}d_isen\phi_i \right]
B_p= m\omega^2r\left [-\frac{3d}{2} cos\theta +\frac{d\sqrt{3}}{2}sen\theta \right]
B_p= m\omega^2r\frac{d}{2}\left [-3 cos\theta +\sqrt{3}sen\theta \right]

Sendo

acos\alpha+bsen\alpha=\sqrt{a^2+b^2}sen(\alpha+\phi)
acos\alpha-bsen\alpha=-\sqrt{a^2+b^2}sen(\alpha-\phi)
tan\phi=\frac{a}{b}


Temos

-3cos\theta+\sqrt{3}sen\theta=\sqrt{9+3}sen(\alpha+\phi)=\sqrt{4\cdot 3}sen(\alpha+\phi)=2\sqrt{3}sen(\alpha+\phi)
tan\phi=\frac{-3}{\sqrt{3}}=\frac{-3\sqrt{3}}{3}=-\sqrt{3}

Portanto

\phi=-60

e o binário de primeira ordem é igual a:

B_p=\sqrt{3}m\omega^2rdsen(\theta-60)


O valor máximo do binário ocorrerá quando sen(\theta-60)=1,ou seja, quando \theta=150 graus.

Binário de segunda ordem ordem[editar | editar código-fonte]

B_s= m\omega^2r\left[\frac{r}{l}cos2\theta \sum_{i=1}^{n}d_icos2\phi_i-\frac{r}{l}sen2\theta\sum_{i=1}^{n}d_isen2\phi_i \right ]
B_s= \frac{r}{l}m\omega^2r\left [-\frac{3d}{2} cos2\theta -\frac{d\sqrt{3}}{2}sen2\theta \right]
B_s= \frac{r}{l}m\omega^2 r\frac{d}{2}\left [-3 cos2\theta -\sqrt{3}sen2\theta \right]


B_s=-\sqrt{3}\frac{r}{l}m\omega^2 rdsen(2\theta+60)

Exemplo: Motor de quatro cilindros em linha - quatro tempos[editar | editar código-fonte]

\phi=\frac{720}{4}=180^0


Ordem de ignição: 1,3,4,2

Tabela de Equilíbrio[editar | editar código-fonte]


Tabela de equilibrio
Φ Inércia
1a ordem
cosΦ
Inércia
1a ordem
senΦ
Inércia
2a ordem
cos2Φ
Inércia
2a ordem
sen2Φ
d Binário
1a ordem
dcosΦ
Binário
1a ordem
dsenΦ
Binário
2a ordem
dcos2Φ
Binário
2a ordem
dsen2Φ
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
180 -1 0 360 1 0 2d -2d 0 2d 0
0 1 0 0 1 0 3d 3d 0 3d 0
180 -1 0 360 1 0 d -d 0 d 0
\sum 0 0 4 0 0 0 6d 0

Força de inércia de segunda ordem[editar | editar código-fonte]


F= m\omega^2r\left [\frac{r}{l}cos2\theta \sum_{i=1}^{n}cos2\phi_i-\frac{r}{l}sen2\theta\sum_{i=1}^{n}sen2\phi_i \right ]


Substituindo temos:

F= m\omega^2r\left [4\frac{r}{l}cos2\theta \right ]
F=4\frac{r}{l}m\omega^2rcos2\theta

Como

F\ne0 \land M\ne0 \Rightarrow Desequilíbrio causado por força de inércia. A distancia L do ponto de atuação da força em relação ao cilindro numero 1 é dada por L=\frac{6d}{4}=1,5d

Referências

  1. Taylor, Charles Fayette (1985). The Internal Combustion Engine in Theory and Practice Vol. 2: Combustion, Fuels, Materials, Design, p. 299. The MIT Press, Massachusetts. ISBN 0262700271.

Ver também[editar | editar código-fonte]