Teste da integral: diferenças entre revisões
Remoção de símbolos sem sentido/ sem ter relação com o conteúdo da página.
Generalização do teste. |
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== Enunciado == |
== Enunciado == |
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Seja <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math> uma série de números positivos |
Seja <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math> uma série de números positivos com <math>f(x):[\delta,\infty)\to\mathbb{R}</math> e <math>\delta \in \mathbb{R}_{+}</math> uma função com as seguintes propriedades: |
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* <math>f(x)\geq 0\,</math>; |
* <math>f(x)\geq 0\,</math>; |
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* <math>f(x)\,</math> é [[função descrecente|decrescente]]; |
* <math>f(x)\,</math> é [[função descrecente|decrescente]]; |
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* <math>f(n)=a_n\,</math>. |
* <math>f(n)=a_n\,</math>. |
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Então <math>\sum_{n= |
Então <math>\sum_{n=\delta}^{\infty}a_n</math> converge [[se e somente se]] <math>\int_{\delta}^{\infty}f(x)dx</math> converge. Geralmente <math>\delta = 1</math> |
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== Demonstração == |
== Demonstração == |
Revisão das 15h30min de 19 de julho de 2014
O teste da integral (português brasileiro) ou critério do integral (português europeu) é um método para estabelecer a convergência de séries numéricas comparando a soma de seus termos à integral de uma função adequada. É um dos testes de convergência mais precisos entre os possiveis.
Enunciado
Seja uma série de números positivos com e uma função com as seguintes propriedades:
- ;
- é decrescente;
- .
Então converge se e somente se converge. Geralmente
Demonstração
Como é decrescente e , podemos enquadrar os termos da seguinte forma:
- , se
integrando no intervalo, temos:
Somando até :
Agora basta observar que implica que a integral ou tende a infinito ou converge. E resultado segue pelo teste da comparação.
Outros enunciados
O Critério do Integral faz uma "ponte" entre dois importantes capítulos da base matemática, o Cálculo Integral e as Séries.
Ele pode ser enunciado sob a condição única da monotonia!
- É frequente encontrarmos enunciados que exigem, para além da positividade e da monotonia decrescente, que a função seja contínua, talvez a pensar numa condição de integrabilidade, mas as funções monótonas num intervalo limitado e fechado são limitadas nesse intervalo e portanto são integráveis, pelo que a continuidade não é, de todo, necessária.
As demonstrações mais conhecidas, como a que se encontra acima, não fazem qualquer referência à condição de integrabilidade (nós podemos dar estas demonstrações abreviadas aos alunos, mas não podemos deixar de os sensibilizar para o facto de elas não estarem completas). - Pode mostrar-se que a positividade também não é necessária, pois as funções monótonas têm sempre limite - se a função é decrescente e o limite é nulo então ela é necessariamente positiva e se o limite não é nulo, falham as condições necessárias de convergência duma série e de um integral impróprio.
- Também a exigência da função ter que ser decrescente não é necessária, pois são da mesma natureza as séries e os integrais com f ou com -f.
Exemplo
Considera a Série de Dirichlet com expoente :
e considere a função:
é sabido que:
Portanto, tal série converge.