Esquema FTCS

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Na análise numérica, o método FTCS(Forward-Time Central-Space) que em português significa progressivo no tempo centrado no espaço, é um método das diferenças finitas usado para resolver numericamente a equação do calor e equações parabólicas em derivadas parciais[1] similares. É um método de primeira ordem no tempo, explícito no tempo e é condicionalmente estável.

O método[editar | editar código-fonte]

No método FTCS, aproximamos a derivada parcial de primeira ordem no tempo u_{t} por uma diferença finita progressiva e a derivada parcial de segunda ordem no espaço u_{xx}, por uma diferença finita centrada:

u_t=\frac{\partial u}{\partial t}(x_i,t_n) \approx \frac{u(x_i,t_n + \Delta t) - u(x_i,t_n)}{\Delta t}=\frac{u_i^{n+1}-u_i^{n}}{\Delta t},
u_{xx}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i,t_n) \approx \frac{u(x_i-\Delta x,t_n) - 2u(x_i,t_n)+u(x_i+\Delta x,t_n)}{\Delta x^2}=\frac{u_{i-1}^n-2u_i^n+u_{i+1}^n}{\Delta x^2},

podemos então substituir as derivadas de u na equação do calor:

\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

obtendo assim o método FTCS:

\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=\alpha \frac{u_{i-1}^n-2u_i^n+u_{i+1}^n}{\Delta x^2}

ou

u_i^{n+1}=u_i^n+\alpha \frac{\Delta t}{\Delta x^2}(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n),

ou ainda:

u_i^{n+1}=u_i^n+r (u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n),

para i e n finitos, onde r é dado por r =\alpha \frac{\Delta t}{\Delta x^2}.

Estabilidade[editar | editar código-fonte]

O método FTCS, para equações unidimensionais, é estável se e somente se a seguinte condição for satisfeita:

 r = \frac{\alpha\Delta t}{\Delta x^2} \leq \frac{1}{2}.

Consequentemente, ao usarmos o esquema FTCS, nao podemos escolher \Delta x e \Delta t independentemente. Pior que isso: como a priori precisamos escolher \Delta x relativamente pequeno para obter uma boa aproximacão, segue que \Delta t será muito pequeno. Precisaremos percorrer muitos passos temporais (muitas iterações do método) para calcular a solução aproximada em qualquer instante de tempo finito.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer. 2nd ed. [S.l.]: Taylor & Francis, 1997. ISBN 156032046X
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