Esquema FTCS

Na análise numérica, o método FTCS(Forward-Time Central-Space) que em português significa progressivo no tempo centrado no espaço, é um método das diferenças finitas usado para resolver numericamente a equação do calor e equações parabólicas em derivadas parciais similares. É um método de primeira ordem no tempo, explícito no tempo e é condicionalmente estável.

O método

No método FTCS, aproximamos a derivada parcial de primeira ordem no tempo $u_{t}$ por uma diferença finita progressiva e a derivada parcial de segunda ordem no espaço $u_{xx}$, por uma diferença finita centrada:

$u_t=\frac{\partial u}{\partial t}(x_i,t_n) \approx \frac{u(x_i,t_n + \Delta t) - u(x_i,t_n)}{\Delta t}=\frac{u_i^{n+1}-u_i^{n}}{\Delta t},$

$u_{xx}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i,t_n) \approx \frac{u(x_i-\Delta x,t_n) - 2u(x_i,t_n)+u(x_i+\Delta x,t_n)}{\Delta x^2}=\frac{u_{i-1}^n-2u_i^n+u_{i+1}^n}{\Delta x^2},$

podemos então substituir as derivadas de u na equação do calor:

$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

obtendo assim o método FTCS:

$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=\alpha \frac{u_{i-1}^n-2u_i^n+u_{i+1}^n}{\Delta x^2}$

ou

$u_i^{n+1}=u_i^n+\alpha \frac{\Delta t}{\Delta x^2}(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n),$

ou ainda:

$u_i^{n+1}=u_i^n+r (u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n),$

para i e n finitos, onde r é dado por $r =\alpha \frac{\Delta t}{\Delta x^2}.$

Estabilidade

O método FTCS, para equações unidimensionais, é estável se e somente se a seguinte condição for satisfeita:

$r = \frac{\alpha\Delta t}{\Delta x^2} \leq \frac{1}{2}.$

Consequentemente, ao usarmos o esquema FTCS, nao podemos escolher $\Delta x$ e $\Delta t$ independentemente. Pior que isso: como a priori precisamos escolher $\Delta x$ relativamente pequeno para obter uma boa aproximacão, segue que $\Delta t$ será muito pequeno. Precisaremos percorrer muitos passos temporais (muitas iterações do método) para calcular a solução aproximada em qualquer instante de tempo finito.