Método de Lax–Wendroff

O método de Lax–Wendroff, em homenagem a Peter Lax e Burton Wendroff, é um método numérico para a resolução de equações hiperbólicas em derivadas parciais, baseado em diferenças finitas. É um método de segunda ordem no tempo e no espaço. Lax e Wendroff apresentaram um método de discretização de segunda ordem para a solução de equações hiperbólicas, o que substituiu o método de Lax-friedrichs.

Ilustração do método

Para determinar o método de Lax-Wendroff, podemos expandir a variável $u$ em séries de Taylor e truncar os termos até a segunda ordem:

$(1) \qquad u_i^{n+1} = u_i^n + \Delta t\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) + \frac{\Delta t^2}{2}\left(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right)$

Relacionando as derivadas do tempo e do espaço:

$\frac{\partial u}{\partial t} = -c\frac{\partial u}{\partial x}$

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) = -c\frac{\partial}{\partial x}\left(-c\frac{\partial u}{\partial x}\right) = c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

Podemos fazer substituições na equação (1), obtendo:

$(2) \qquad u_i^{n+1} = u_i^n -c\Delta t\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) + c^2\frac{\Delta t^2}{2}\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)$

Usando diferenças centradas de primeira e segunda ordem em relação ao espaço:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{u_{i+1}^n-u_{i-1}^n}{2\Delta x}$

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2}$

E substituindo em (2), obtemos assim o método de Lax-Wendroff:

$u_i^{n+1} = u_i^n -\frac{c\Delta t}{2\Delta x}\left(u_{i+1}^n-u_{i-1}^n\right) + \frac{c^2\Delta t^2}{2\Delta x^2}\left(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n\right)$

O qual também pode ser mostrado em relação ao número de Courant–Friedrichs–Lewy(CFL):

$u_i^{n+1} = u_i^n -\frac{\sigma}{2}\left(u_{i+1}^n-u_{i-1}^n\right) + \frac{\sigma^2}{2}\left(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n\right)$

Referências

• P.D Lax; B. Wendroff. (1960). "Systems of conservation laws". Commun. Pure Appl Math. 13 (2): 217–237. DOI:10.1002/cpa.3160130205.
• Michael J. Thompson, An Introduction to Astrophysical Fluid Dynamics, Imperial College Press, London, 2006.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP. In: WH. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. 3rd ed. [S.l.]: Cambridge University Press, 2007. p. 1040. ISBN 978-0-521-88068-8