Nó figura oito

Nó figura oito
Invariante de Arf	1
Tamanho da trança	4
Número da trança	3
Número de pontes	2
Número de crosscaps	2
Número de cruzamentos	4
Gênero	1
Volume hiperbólico	2.02988
Número de sticks	7
Número de unknotting	1
Notação Conway	[22]
Notação A-B	41
Notação Dowker	4,6,8,2
Anterior / Próximo	31 / 51
Outros
alternante, hiperbólico, fibrado, primo, totalmente ambiquiral, torcido

Construção do nó figura oito

Nó figura oito com extremidades unidas.

Na teoria dos nós, um nó figura oito (também chamado de nó Listing) é o único nó com quatro cruzamentos. Este é o menor número possível de cruzamentos, exceto para o nó trivial e o nó de trevo. O nó figura oito é um nó primo.

Origem do nome

O nome é dado porque amarrando um nó figura oito em uma corda e depois unindo as extremidades, da maneira mais natural, dá um modelo do nó matemático.

Descrição

Uma simples representação paramétrica do nó figura oito é com o conjunto de todos os pontos (x,y,z) onde:

${\begin{aligned}x&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\cos {(3t)}\\y&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\mathrm {sen} \,{(3t)}\\z&=\mathrm {sen} \,{(4t)}\end{aligned}}$

para t variando sobre números reais, consulte a representação visual 2D no canto inferior direito.

O nó figura oito é um nó primo, alternando e racional, com um valor associado de 5/2, e também é um nó quiral e nó de fibra. Isto segue-se a partir de outras, menos simples, (mas muito interessante) representações do nó:

(1) Ele é uma trança fechada homogênea (nomeadamente, o encerramento da terceira seqüência da trança σ₁σ₂⁻¹σ₁σ₂⁻¹), e o teorema de João Stallings mostra que qualquer trança fechada homogênea é um nó fibra.

(2) É o enlaço (0,0,0,0) de um ponto crítico isolado de um polinômio mapa F: R⁴→R², então (de acordo com o teorema de John Milnor) o mapa de Milnor de F é, na verdade, um nó fibra. Bernard Perron encontrou o primeiro F para esse nó, ou seja,

$$F(x,y,z,t)=G(x,y,z^{2}-t^{2},2zt),$$

onde

$${\begin{aligned}G(x,y,z,t)=\ &(z(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+x(6x^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2}),\\&\ tx{\sqrt {2}}+y(6x^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2})).\end{aligned}}$$

Propriedades matemáticas

O nó figura oito tem desempenhado um papel importante historicamente (e continua a fazê-lo) na teoria do coletor tridimensional. Em algum momento em meados da década de 1970, William Thurston , mostrou que o nó figura oito era hiperbólico, pela decomposição de seu complemento em dois tetraédros hiperbólicos ideais. (Robert Riley e Troels Jørgensen, trabalhando de forma independente, havia mostrado que o nó figura oito era hiperbólico por outros meios.) Esta construção, nova na época, levou-o a muitos resultados e métodos poderosos. Por exemplo, ele foi capaz de mostrar que todas as cirurgias Dehn, exceto dez, no nó figura oito resultaram em três dimensões não-Haken, não-Seifert-fibra irredutíveis; estes foram os primeiros exemplos. Muitos mais foram descobertos, generalizando a construção Thurston para outros nós e enlaces.

O nó figura oito também é nó hiperbólico cujo complemento tem o menor volume possível, 2.02988... de acordo com o trabalho de Chun Cao e Robert Meyerhoff. A partir desta perspectiva, o nó figura oito pode ser considerado o nó hiperbólico mais simples. O nó figura oito possui complemento de  duplo-recobrimento, que tem o menor volume entre os não-hiperbólico compacto tridimensionais.

O nó figura oito e o nó (-2,3,7) são apenas os dois nós hiperbólicos conhecidos por ter mais de 6 cirurgias excepcionais (Dehn cirurgia) resultando em um não-hiperbólico coletor tridimensional; eles têm 10 e 7, respectivamente. O teorema de Lackenby e Meyerhoff, cuja prova se baseia na conjectura de geometrização  e com a assistência de computador, considera-se que 10 é o maior número possível de cirurgias excepcional de qualquer nó hiperbólico. No entanto, não se sabe atualmente se o nó de oito é o único que atinge o limite de 10. É bem conhecida a conjectura de que o dependente (exceto para os dois nós mencionados) é o 6.

Descrição quadrada da configuração do nó figura oito.

Representação simétrica gerada por equações paramétricas.

Superfície ilustrando nó figura oito

Constantes

O polinômio de Alexander do nó figura oito é:

$$\Delta (t)=-t+3-t^{-1},$$

o polinômio Conway é:

$$\nabla (z)=1-z^{2},$$

e o polinômio de Jones é:

$$V(q)=q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}.$$

A simetria entre $q$ e $q^{-1}$ no polinômio de Jones reflete o fato de que o nó figura oito é aquiral.

Ver também

• Nó trivial
• Nó de trevo
• Hebesfenorotunda triangular
• Enlace

Ler mais

• Ian Agol, Limites excepcionais, Dehn de enchimento, Geometria E Topologia 4 (2000), 431–449. MR1799796
• Chun Cao e Robert Meyerhoff, A orientação mais agudo hiperbólico de 3 variedades de volume mínimo, Inventiones Mathematicae, 146 (2001), não. 3, 451–478. MR1869847
• Marc Lackenby, Word hiperbólica Dehn cirurgia, Inventiones Mathematicae 140 (2000), não. 2, 243–282. MR1756996
• Marc Lackenby e Robert Meyerhoff, O número máximo de excepcional Dehn cirurgias, arXiv:0808.1176
• Robion Kirby, Problemas na baixa-dimensional topologia, (ver problema 1.77, devido a Cameron Gordon, por excepcional pistas)
• William Thurston, a Geometria e A Topologia de Três Variedades, da Universidade de Princeton, anotações de aula (1978-1981).