Número de enlaces

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As duas curvas deste (2,4)-enlace de toros possuem um número de enlace igual a quatro.

Em matemática, o número de enlaces é um invariante numérico que descreve o enlace de duas curvas fechadas no espaço tridimensional. Intuitivamente, o número de enlaces representa o número de vezes que cada curva se envolve em torno da outra. O número de enlaces é sempre um inteiro, e pode ser positivo ou negativo dependendo da orientação das duas curvas.

O número de enlaces foi introduzido por Gauss na forma de um enlace integral. Ele é um objeto de estudo importante na na teoria dos nós, topologia algébrica e na geometria diferencial, tendo numerosas aplicações em matemática e ciência, incluindo a mecânica quântica, eletromagnetismo e o estudo de superenrolamento de ADN.

Definição[editar | editar código-fonte]

Quaisquer duas curvas fechadas em um espaço podem ser movidas para uma das seguintes posições padrão. Isso determina o número de enlaces:

\cdots Linking Number -2.svg Linking Number -1.svg Linking Number 0.svg
Número de enlaces -2 número de enlaces -1 número de enlaces 0
Linking Number 1.svg Linking Number 2.svg Linking Number 3.svg \cdots
número de enlaces 1 número de enlaces 2 número de enlaces 3

Cada curva pode passar sobre si mesma durante essa movimentação, mas elas devem permanecer separadas do começo ao fim. Isso é formalizado coma a homotopia regular, que exige ainda que cada curva seja uma imersão (não apenas uma aplicação). No entanto, essa condição extra não altera a definição do número de enlaces (não faz diferença se é exigido ou não que as curvas sempre sejam imersões), o que exemplifica um princípio de homotopia, significando que a geometria se reduz à topologia.

Cálculo do número de enlaces[editar | editar código-fonte]

Com seis cruzamentos positivos e dois negativos, o número de enlaces destas curvas é dois.

Existe um algoritmo para calcular o número de enlaces de duas curvas a partir de um diagrama de enlaces. Nomeie cada cruzamento como positivo ou negativo, de acordo com a seguinte regra[1] :

Link Crossings.svg

O número total de cruzamentos positivos menos o número total de cruzamentos negativos é igual ao dobro do número de enlaces. Em outros termos:

\mbox{número de enlaces}=\frac{n_1 + n_2 - n_3 - n_4}{2}

em que n1, n2, n3, n4 representam o número de cruzamentos de cada um dos uatro tipos. As duas somas n_1 + n_3\,\! e n_2 + n_4\,\! são sempre iguais, [2] donde segue a seguinte fórmula alternativa

\mbox{número de enlaces}\,=\,n_1-n_4\,=\,n_2-n_3.

Note que n_1-n_4 envolve apenas os cruzamentos da curva azul por baixo da vermelha, enquanto que n_2-n_3 envolve apenas os cruzamentos por cima.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Essa rotulação é a mesma usada para calcular o writhe de um , embora neste caso só devem ser nomeados os cruzamentos que envolvam ambas as curvas do enlace.
  2. Isso segue do teorema da curva de Jordan se qualquer das curvas for simples. Por exemplo, se a curva azul for simples, então n1 + n3 e n2 + n4 representam o número de vezes que a curva vermelha atravessa para dentro e para fora da região limitada pela curva azul.

Referências[editar | editar código-fonte]