Paridade de uma permutação

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Em matemática, quando X é um conjunto finito de ao menos dois elementos, as permutações de X (i.e. as funções bijectivas de X a X) caem em duas classes de igual tamanho: as permutações ímpares e as permutações pares.

Se qualquer relação de ordem de X é fixada, a paridade (ser par ou ser ímpar) de uma permutação \sigma de X pode ser definida como a paridade do número de inversões para \sigma, i.e., de pares de elementos x,y de X tal que x<y e \sigma(x)>\sigma(y). O número de inversões depende da ordem, mas a paridade não.

O sinal ou assinatura de uma permutação \sigma é notado sgn(σ) e definido como +1 se \sigma é par e −1 se \sigma é ímpar. A assinatura é um homomorfismo entre o grupo simétrico e o grupo multiplicativo {1, -1}, e define o caráter alternante do grupo simétrico Sn.

Outra forma de ver a paridade de uma permutação é escrevê-la como um produto de transposições (uma transposição é uma permutação em que apenas dois elementos trocam de lugar; elas são representadas por (i, j), (i; j) ou (i j)). Existem infinitas formas de escrever uma permutação como produto de transposições, mas uma permutação par (respectivamente, ímpar) pode ser escrita apenas como o produto de um número par (respectivamente, ímpar) de transposições.