Raiz cúbica

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Representação gráfica da função: y = \sqrt[3]{x}

Em ciÊncias e matematica a raiz cúbica de um número x\, (expressa como \sqrt[3]{x} ou x^{1\over3} \,), é o valor numérico tal que, ao ser multiplicado três vezes por si mesmo, dá como resultado x\,. Por exemplo, a raiz cúbica de 27 é 3, já que 3\times 3\times 3=27.

Em geral, um número real possui três raízes cúbicas, uma correspondente a um número real, e as outras duas a números complexos. Assim, as raízes cúbicas de 8 são:

\sqrt[3]{8} = \begin{cases} \ \ 2 \\ -1+i\sqrt{3} \\ -1-i\sqrt{3} \end{cases}

A operação de calcular a raiz cúbica de um número é uma operação associativa com a potenciação e distributiva com a multiplicação e divisão, mas não é associativa ou distributiva com a soma ou a subtração.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

As raízes cúbicas de um número x são números y que satisfazem a equação

y^3 = x\,

Números reais[editar | editar código-fonte]

Se x e y são reais, então existe uma única solução tal que a equação tem apenas uma única solução, e esta corresponde a um número real. Se é empregada esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é também um número negativo. Desta forma o princípio da raiz cúbica de x é representada igualmente por:

\sqrt[3]{x} = x^{1\over3}

Se x e y são ambos complexos, então se pode dizer que possui três soluções (se x não é nulo) e assim x tem três raízes cúbicas: uma raiz real e duas complexas, na forma de par conjugado. Este facto deixa interessantes resultados dentro das matemática.

Por exemplo, as raízes do número um são:

\sqrt[3]{1} = \begin{cases} \ \ 1 \\ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{cases}

Estas duas raízes se relacionam com todas as outras raízes cúbicas de outros números. Se um número é raiz cúbica de um número real as raízes cúbicas podem ser calculadas multiplicando o número pelas raízes da raiz cúbica de um.

Números complexos[editar | editar código-fonte]

Para os números complexos, o valor principal das raízes cúbicas se define como:

x^{1\over3} = \exp \left( {\ln{x}\over3} \right)

Onde ln(x) é o logaritmo natural. Se é escrito x como

x = r \exp(i \theta)\,

Onde r é um número real positivo e \theta cai no intervalo:

-\pi < \theta \le \pi,

então a raiz cúbica é

\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{r}\exp \left( {i\theta \over 3} \right).

Isto significa que em coordenadas polares ao tomar a raiz cúbica de um número complexo se está tomando a raiz cúbica do raio e o ângulo polar está sendo dividido em três partes de tal forma que define as três raízes. Com esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é um número complexo, e por exemplo \sqrt[3]{-8} não será -2, senão 1 + i\sqrt{3}. Naqueles programas que aceitam resultados imaginários (tais como Mathematica), o gráfico da raiz cúbica de x no plano dos números reais dará como resultados valores negativos da raiz por igual..

A raiz cúbica em uma calculadora de mão[editar | editar código-fonte]

Procedente da seguinte identidade:

\frac{1}{3} = \frac{1}{2^2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{16}}\right) \dots,

Existe um método simples para poder calcular a raiz cúbica de um número em uma calculadora não-científica, o qual requer só as operações aritméticas de multiplicação e raiz quadrada. Não se requer além disso a memória. Se descreve a seguir:

  • Pressiona-se o botão de raiz quadrada, duas vezes.
  • Pressiona-se o botão de multiplicação.
  • Pressiona-se o botão de raiz quadrada duas vezes.
  • Pressiona-se o botão de multiplicação.
  • Pressiona-se o botão de raiz quadrada quatro vezes.
  • Pressiona-se o botão de multiplicação.
  • Pressiona-se o botão de raiz quadrada oito vezes.
  • Pressiona-se o botão de multiplicação...

O processo é continuado até que número que apareça no visor permaneça sem alterar-se, isto ocorre devido a que tem que aparecer 1 ou um número tal que 0,9999999... (isto significa que se tenha chegado ao limite da precisão da calculadora). Neste momento se pressiona o botão de raiz quadrada uma vez mais e o número que aparece no visor corresponderá a melhor aproximação que a calculadora pode proporcionar da raiz cúbica do número original. No método anterior se substitui a primeira multiplicação por uma divisão, sem modificar o restante do algoritmo, no lugar de averiguar a raiz cúbica se averigua a raiz quinta.

Cálculo manual da raiz cúbica[editar | editar código-fonte]

Igualmente como com as raízes quadradas, existe também uma operação que, ainda que muito pouco utilizada por haver métodos mais simples para resolvê-las, serve para obter o resultado da raiz cúbica de um número dado, a operação é a seguinte:

————————|
  1331  |11
 -1     |——————————————
 ——     |300·1²·3= 900
  0331  | 30·1·3²= 270
  -331  |      3³=  27
  ————  |         ————
   000  |         1197
        |se passa de 331
        |
        |300·1²·2= 600
        | 30·1·2²= 120
        |      2³=   8
        |         ————
        |          728  
        |se passa de 331
        |
        |300·1²·1= 300
        | 30·1·1²=  30
        |      1³=   1
        |          ———
        |          331
        |é igual ou menor
        |a 331

Explicação da operação:

  1. Separam-se os dígitos de 3 em 3 da direita para a esquerda à direita da vírgula se não tem decimais e se os tem então as cifras decimais são separadas de 3 em 3 da esquerda para a direita.
  2. Procura-se um número cujo cubo seja igual ou menor (se é menor sempre a cifra mais alta possível sem chegar a ultrapassá-lo) à primeira cifra ou conjunto de cifras que se encontram primeiro (à esquerda).
  3. À primeira cifra ou conjunto de cifras se lhe resta esse número cujo cubo é igual ou menor ao primeiro conjunto de cifras, e põe-se esse resultado baixando-se ao lado o seguinte grupo de três cifras.

Fórmula Luderiana Racional para Extração de Raiz Cúbica[editar | editar código-fonte]

A raiz cúbica de um número complexo (com aproximadamente 6 casas decimais de precisão) pode ser calculada pela seguinte fórmula - descoberta em 2014 por Ludenir Santos do estado de Rio Grande do Sul:


\sqrt[3]{c} = k. \left( { z^{13}+8.436z^{12}+2.760.681z^{11}+163.011.640z^{10}+2.707.475.148z^9+15.471.286.560z^8+33.578.000.610z^7+28.781.143.380z^6 +9.669.554.100z^5+1.203.322.288z^4+48.903.492z^3+501.942 z^2+703z^1\over703z^{12}+501.942z^{11}+48.903.492z^{10}+1.203.322.288z^9+9.669.554.100z^8+28.781.143.380z^7+33.578.000.610z^6+15.471.286.560z^5 +2.707.475.148z^4+163.011.640z^3+2.760.681z^2+8.436z^1+z^0 } \right)

Onde:

\sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{k^3.z}, para todo k complexo diferente de "0".

Observe que c, k, z são valores conhecidos.

c é o radicando, ou seja, o número para o qual desejamos saber a raiz cúbica;

k é a base do cubo perfeito mais próximo de c;

Da igualdade, \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{k^3.z}, tem-se:

{c} = {k^3.z}


Logo, {z} = {c\over k^3}

O valor de z deve ser o mais próximo possível de "1".

k não precisa ser, obrigatoriamente, um inteiro. A fim de tornar z mais próximo de "1" pode-se trabalhar com k racional.

Exemplos:

a) \sqrt[3]{61}

\sqrt[3]{c}
c = 61
{27<61<64}
{3^3<61<4^3}
{k^3}=4^3
k = 4

Como {z} = {c\over k^3} então {z} = {61\over 64} => z = 0.953125

Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:

\sqrt[3]{61} = 4(0.984124295769288)
\sqrt[3]{61} = 3.936497183


Por tratar-se de raiz cúbica, existem mais duas raízes que iremos calcular através das seguintes fórmulas:

x2 = {-x1+\sqrt{-3.(x1)^2}\over 2}


x3 = {-x1-\sqrt{-3.(x1)^2}\over 2}


Portanto,

{x1} = 3.936497183
{x2} = -1.968248591+3.409106562i
{x3} = -1.968248591-3.409106562i


Estimando o valor de "k" para Reais

Separe os digitos do radicando em grupos de 3 digitos, do final para o início.

Encontre a raiz cúbica aproximada, apenas para o 1o grupo.

Para cada um dos demais grupos, adotar zero.


No exemplo \sqrt[3]{33.143.428} podemos considerar k = 300


O "3" substitui o 1o grupo porque é a base do cubo perfeito mais próximo de "33", ou seja, 3^3=27

Um "0" para substituir o 2o grupo que, no caso, é "143"

Outro "0" para substituir o 3o grupo que, no caso, é "428".



b) \sqrt[3]{11+197i}

\sqrt[3]{c}
c = 11+197i
{k^3}=(-5+3i)^3 => k^3 = 10+198i
k = -5+3i

Como {z} = {c\over k^3} então {z} = {11+197i\over 10+198i} => z = 0.995216771829839-0.0052920822308162i

Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:

\sqrt[3]{11+197i} = (-5+3i).(0.998406178417362-0.00176966582611513i)
\sqrt[3]{11+197i} = -4.9867218946+3.0040668643i


Por tratar-se de raiz cúbica, existem mais duas raízes que iremos calcular através das seguintes fórmulas:

x2 = {-x1+\sqrt{-3.(x1)^2}\over 2}
x3 = {-x1-\sqrt{-3.(x1)^2}\over 2}


Portanto,

{x1} = -4.9867218946+3.0040668643i
{x2} = 5.094959166+2.816594410i
{x3} = -0.108237271-5.820661274i


Calculando o valor de "k" para Imaginários

Uma excelente aproximação para o valor de "k" (aconselha-se aceitar a precisão de um digito decimal tanto da parte real, quanto da parte imaginária) pode ser dado pela fórmula luderiana:


k = { c^{13}+8.436c^{12}+2.760.681c^{11}+163.011.640c^{10}+2.707.475.148c^9+15.471.286.560c^8+33.578.000.610c^7+28.781.143.380c^6 +9.669.554.100c^5+1.203.322.288c^4+48.903.492c^3+501.942 c^2+703c^1\over703c^{12}+501.942c^{11}+48.903.492c^{10}+1.203.322.288c^9+9.669.554.100c^8+28.781.143.380c^7+33.578.000.610c^6+15.471.286.560c^5 +2.707.475.148c^4+163.011.640c^3+2.760.681c^2+8.436c^1+c^0 }


c) \sqrt[3]{45-171i}

c = 45-171i


k = {{-7.93251141110921*10^{30}-1.559894010231i*10^{31}}\over {-9.0939520246552*10^{28}-3.12984235494092i*10^{30}}}


k = 5.05331258934602-2.3876491979799i


Portanto, adota-se:

k = 5.0-2.3i


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