Raiz cúbica

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Representação gráfica da função: y = \sqrt[3]{x}

Em matemática, a raiz cúbica de um número x\, (expressa como \sqrt[3]{x} ou x^{1\over3} \,), é o valor numérico tal que, ao ser multiplicado três vezes por si mesmo, dá como resultado x\,. Por exemplo, a raiz cúbica de 27 é 3, já que 3\times 3\times 3=27.

Em geral, um número real possui três raízes cúbicas, uma correspondente a um número real, e as outras duas a números complexos. Assim, as raízes cúbicas de 8 são:

\sqrt[3]{8} = \begin{cases} \ \ 2 \\ -1+i\sqrt{3} \\ -1-i\sqrt{3} \end{cases}

A operação de calcular a raiz cúbica de um número é uma operação associativa com a potenciação e distributiva com a multiplicação e divisão, mas não é associativa ou distributiva com a soma ou a subtração.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

As raízes cúbicas de um número x são números y que satisfazem a equação

y^3 = x\,

Números reais[editar | editar código-fonte]

Se x e y são reais, então existe uma única solução tal que a equação tem apenas uma única solução, e esta corresponde a um número real. Se é empregada esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é também um número negativo. Desta forma o princípio da raiz cúbica de x é representada igualmente por:

\sqrt[3]{x} = x^{1\over3}

Se x e y são ambos complexos, então se pode dizer que possui três soluções (se x naõ é nulo) e assim x tem três raízes cúbicas: uma raíz real e duas complezas, na forma de par conjugado. Este fato deixa interessantes resultados dentro das matemática.

Por exemplo, as raízes do número um são:

\sqrt[3]{1} = \begin{cases} \ \ 1 \\ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{cases}

Estas duas raízes se relacionam com todas as outras raízes cúbicas de outros números. Se um número é raiz cúbica de um número real as raízes cúbicas podem ser calculadas multiplicando o número pelas raízes da raiz cúbica de um.

Números complexos[editar | editar código-fonte]

Para os números complexos, o valor principal das raízes cúbicas se define como:

x^{1\over3} = \exp \left( {\ln{x}\over3} \right)

Onde ln(x) é o logaritmo natural. Se é escrito x como

x = r \exp(i \theta)\,

Onde r é um número real positivo e \theta cai no intervalo:

-\pi < \theta \le \pi,

então a raiz cúbica é

\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{r}\exp \left( {i\theta \over 3} \right).

Isto significa que em coordenadas polares ao tomar a raiz cúbica de um número complexo se está tomando a raiz cúbica do raio e o ângulo polar está sendo dividido em três partes de tal forma que define as três raízes. Com esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é um número complexo, e por exemplo \sqrt[3]{-8} não será -2, senão 1 + i\sqrt{3}. Naqueles programas que aceitam resultados imaginários (tais como Mathematica), o gráfico da raiz cúbica de x no plano dos números reais dará como resultados valores negativos da raiz por igual..

A raiz cúbica em uma calculadora de mão[editar | editar código-fonte]

Procedente da seguinte identidade:

\frac{1}{3} = \frac{1}{2^2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{16}}\right) \dots,

Existe um método simples para poder calcular a raiz cúbica de um número em uma calculadora não-científica, o qual requer só as operações aritméticas de multiplicação e raiz quadrada. Não se requer além disso a memória. Se descreve a seguir:

  • Pressiona-se o botão de raiz quadrada, duas vezes.
  • Pressiona-se o botão de multiplicação.
  • Pressiona-se o botão de raiz quadrada duas vezes.
  • Pressiona-se o botão de multiplicação.
  • Pressiona-se o botão de raiz quadrada quatro vezes.
  • Pressiona-se o botão de multiplicação.
  • Pressiona-se o botão de raiz quadrada oito vezes.
  • Pressiona-se o botão de multiplicação...

O processo é continuado até que número que apareça no visor permaneça sem alterar-se, isto ocorre devido a que tem que aparecer 1 ou um número tal que 0,9999999... (isto significa que se tenha chegado ao limite da precisão da calculadora). Neste momento se pressiona o botão de raiz quadrada uma vez mais e o número que aparece no visor corresponderá a melhor aproximação que a calculadora pode proporcionar da raiz cúbica do número original. No método anterior se substitui a primeira multiplicação por uma divisão, sem modificar o restante do algoritmo, no lugar de averiguar a raiz cúbica se averigua a raiz quinta.

Cálculo manual da raiz cúbica[editar | editar código-fonte]

Igualmente como com as raízes quadradas, existe também uma operação que, ainda que muito pouco utilizada por haver métodos mais simples para resolvê-las, serve para obter o resultado da raiz cúbica de um número dado, a operação é a seguinte:

————————|
  1331  |11
 -1     |——————————————
 ——     |300·1²·3= 900
  0331  | 30·1·3²= 2s70
  -331  |      3³=  27
  ————  |         ————
   000  |         1197
        |se passa de 331
        |
        |300·1²·2= 600
        | 30·1·2²= 120
        |      2³=   8
        |         ————
        |          728  
        |se passa de 331
        |
        |300·1²·1= 300
        | 30·1·1²=  30
        |      1³=   1
        |          ———
        |          331
        |é igual ou menor
        |a 331

Explicação da operação:

  1. Se separam os dígitos de 3 em 3 da direita para a esquerda à direita da vírgula se não tem decimais e se os tem então as cifras decimais são separadas de 3 em 3 da esquerda para a direita.
  2. Se busca um número cujo cubo seja igual ou menor (se é menor sempre a cifra mais alta possível sem chegar a ultrapassá-lo) à primeira cifra ou conjunto de cifras que se encontram primeiro (à esquerda).
  3. À primeira cifra ou conjunto de cifras se lhe resta esse número cujo cubo é igual ou menor ao primeiro conjunto de cifras, e se põe esse resultado baixando-se ao lado o seguinte grupo de três cifras.


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