Regra geral de Leibniz

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Em cálculo, a regra geral de Leibniz1 , nomeada depois por Gottfried Wilhelm Leibniz, generaliza a regra do produto. Afirma que se f e g são funções diferenciáveis n-vezes, então a n-ésima derivada do produto fg é dada por

(f \cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)},

onde {n \choose k} é Coeficiente binomial.

Isto pode ser provado usando a regra do produto e a indução matemática.

Com a notação Índice múltiplo as regras dizem de forma mais geral:

\partial^\alpha (fg) = \sum_{ \{\beta\,:\,\beta \le \alpha \} } {\alpha \choose \beta} (\partial^{\alpha - \beta} f) (\partial^{\beta} g).

Esta fórmula pode ser usada para derivar uma fórmula que calcula o símbolo da composição de operadores diferenciais. Na verdade, caso P e Q sejam operadores diferenciais (com coeficientes que são suficientemente diferenciáveis muitas vezes) e R = P \circ Q. Visto que "R" também é um operador diferencial, o símbolo de "R" é dado por:

R(x, \xi) = e^{-{\langle x, \xi \rangle}} R (e^{\langle x, \xi \rangle}).

Um cálculo direto agora nos dá:

R(x, \xi) = \sum_\alpha {1 \over \alpha!} \left({\partial \over \partial \xi}\right)^\alpha P(x, \xi) \left({\partial \over \partial x}\right)^\alpha Q(x, \xi).

Esta fórmula é conhecida como a de Leibniz. É utilizada para definir a composição, no espaço de símbolos, induzindo a estrutura do anel.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Olver, Applications of Lie groups to differential equations, page 318

Ligações externas[editar | editar código-fonte]