Índice múltiplo

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A notação matemática de índices múltiplos simplifica a formulação utilizada em cálculo com múltiplas variáveis, equações de derivadas parciais e na teoria das distribuições. Ela consiste na generalização de um índice inteiro para ordenar índices de tuplas.[1]

Definição[editar | editar código-fonte]

Um índice múltiplo n-dimensional é uma n-tupla da forma

\alpha = (\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n)

de inteiros não negativos. Para índices múltiplos \alpha, \beta \in \mathbb{N}^n_0 e x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n se define:

  • Soma e diferença
\alpha \pm \beta= (\alpha_1 \pm \beta_1,\,\alpha_2 \pm \beta_2, \ldots, \,\alpha_n \pm \beta_n)
\alpha \le \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_i \le \beta_i \quad \forall\,i\in\{1,\ldots,n\}
  • Soma de componentes
| \alpha | = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n
\alpha ! = \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!
\binom{\alpha}{\beta} = \binom{\alpha_1}{\beta_1}\binom{\alpha_2}{\beta_2}\cdots\binom{\alpha_n}{\beta_n} = \frac{\alpha!}{\beta!(\alpha-\beta)!}
\binom{k}{\alpha} = \frac{k!}{\alpha_1! \alpha_2! \cdots \alpha_n! } = \frac{k!}{\alpha!} onde |\alpha|=k\,
x^\alpha = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \ldots x_n^{\alpha_n}
\partial^\alpha = \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \ldots \partial_n^{\alpha_n} onde \partial_i^{\alpha_i}:=\part^{\alpha_i} / \part x_i^{\alpha_i}

Referências

  1. Xavier, Saint Raymond. Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. [S.l.]: CRC Press, 1991. ISBN 0-8493-7158-9.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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