Índice múltiplo

A notação matemática de índices múltiplos simplifica a formulação utilizada em cálculo com múltiplas variáveis, equações de derivadas parciais e na teoria das distribuições. Ela consiste na generalização de um índice inteiro para ordenar índices de tuplas.

Definição

Um índice múltiplo n-dimensional é uma n-tupla da forma

$\alpha = (\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n)$

de inteiros não negativos. Para índices múltiplos $\alpha, \beta \in \mathbb{N}^n_0$ e $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ se define:

• Soma e diferença

$\alpha \pm \beta= (\alpha_1 \pm \beta_1,\,\alpha_2 \pm \beta_2, \ldots, \,\alpha_n \pm \beta_n)$

• Conjunto parcialmente ordenado

$\alpha \le \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_i \le \beta_i \quad \forall\,i\in\{1,\ldots,n\}$

• Soma de componentes

$| \alpha | = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n$

• Fatorial

$\alpha ! = \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!$

• Coeficiente binomial

$\binom{\alpha}{\beta} = \binom{\alpha_1}{\beta_1}\binom{\alpha_2}{\beta_2}\cdots\binom{\alpha_n}{\beta_n} = \frac{\alpha!}{\beta!(\alpha-\beta)!}$

• Teorema multinomial

$\binom{k}{\alpha} = \frac{k!}{\alpha_1! \alpha_2! \cdots \alpha_n! } = \frac{k!}{\alpha!}$ onde $|\alpha|=k\,$

• Exponenciação

$x^\alpha = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \ldots x_n^{\alpha_n}$

• Derivada parcial

$\partial^\alpha = \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \ldots \partial_n^{\alpha_n}$ onde $\partial_i^{\alpha_i}:=\part^{\alpha_i} / \part x_i^{\alpha_i}$

Ligações externas

• Este artigo incorpora material de Índice múltiplo do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.