Teorema de Herão

A fórmula tradicional de cálculo da área do triângulo, ensinada e muito utilizada no ensino fundamental é $A = \left (\frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}\right).$ Entretanto, outras fórmulas foram desenvolvidas para realizar este cálculo. Uma delas é a fórmula de Herão (ou de Heron), que dá a área do triângulo em função da medida dos três lados do triângulo. O nome faz referência ao matemático grego Herão de Alexandria.

A fórmula

A fórmula é: $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},$ onde $s$ representa o semiperímetro do triângulo e $a,$ $b,$ $c$ são os comprimentos dos 3 lados do triângulo.

Exemplo

Um triângulo com lados 3, 25 e 26 tem semiperímetro (3 + 25 + 26)/2 = 27. Assim, a sua área é $A = \sqrt{27 \cdot 24 \cdot 2 \cdot 1}=36.$

Demonstração

Seja $b$ a base do triângulo e $h$ a sua altura. A área do triângulo é $A=\frac{bh}{2}.$

Pelo teorema dos cossenos, $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=a^2+b^2-2b\sqrt{a^2-h^2},$ logo $h^2=a^2-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}\right)^2.$ Assim,

$\begin{matrix}A^2&=& \frac{b^2h^2}{4}=\frac{b^2\left(a^2-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}\right)^2\right)}{4}=\frac{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{16} = \frac{(2ab-(a^2+b^2-c^2))(2ab+(a^2+b^2-c^2))}{16}=\\ \\ &=&\frac{(c^2-(a-b)^2)((a+b)^2-c^2)}{16}=\frac{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}{16}=(s-a)(s-b)(s-c)s\\ \end{matrix}$