Transformada binomial

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Em matemática, no campo da combinatória, a transformada binomial é uma seqüência de transformações, ou seja, uma transformação de uma seqüência, que obtém-se calculando suas diferenças anteriores. Está relacionada com a transformada de Euler, que é o resultado de aplicar a transformada binomial à seqüência associada com a função geratriz ordinária. Às vezes, um caso especial de transformada de Euler é utilizado para acelerar a soma de séries alternadas. Outro caso especial aplica-se à série hipergeométrica.

Definição[editar | editar código-fonte]

A transformada binomial, T, de uma seqüência, \{a_n\}, é a seqüência \{s_n\} definida como

s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} a_k

Formalmente, a transformação escreve-se como (Ta)_n = s_n , onde T é um operador de dimensão infinita com uma matriz de elementos T_{nk}:

s_n = (Ta)_n = \sum_{k=0}^\infty T_{nk} a_k

A transformada é uma involução, ou seja,

TT = 1 \,

ou, em notação indexada,

\sum_{k=0}^\infty T_{nk}T_{km} = \delta_{nm}

sendo δ a função delta de Kronecker. Pode-se recuperar a série original com

a_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} s_k

A transformada binomial de uma seqüência é a n-ésima diferença anterior da seqüência, igual a

s_0 = a_0
s_1 = - (\triangle a)_0 = -a_1+a_0
s_2 = (\triangle^2 a)_0 = -(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0) = a_2-2a_1+a_0
. . .
s_n = (-1)^n (\triangle^n a)_0

onde Δ é o operador de diferença anterior.

Alguns autores definem a transformada binomial com um sinal adicional, de maneira que não seja inversa consigo mesma:

t_n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n\choose k} a_k

cuja inversa é

a_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} t_k

Transformada de Euler[editar | editar código-fonte]

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A relação entre as funções de geração ordinárias é às vezes chamada a transformada de Euler. Existem dois tipos. Em uma de suas formas, é utilizada para acelerar a convergência de uma série alternada. É dizer que uma tem a seguinte identidada

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n 
\frac {\Delta^n a_0} {2^{n+1}}

que obtém-se substituindo x=1/2 na expressão anterior. No geral os termos do lado direito da igualdade, reduzem-se de forma muito mais rápida, permitindo desta maneira uma soma numérica rápida.

Também é freqüente a aplicação da transformada de Euler à série hipergeométrica \,_2F_1. Neste caso, a transformada de Euler toma a siguinte forma:

\,_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b} \,_2F_1 \left(c-a, b; c;\frac{z}{z-1}\right)

A transformada binomial, e sua variação à transformada de Euler, destacam-se por sua conexão com a representação de um número mediante fração contínua. Seja 0 < x < 1 tal que sua representação em fração contínua é

x=[0;a_1, a_2, a_3,\cdots]

então

\frac{x}{1-x}=[0;a_1-1, a_2, a_3,\cdots]

e

\frac{x}{1+x}=[0;a_1+1, a_2, a_3,\cdots]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

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