Caminhada quântica em tempo contínuo

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Uma caminhada quântica em tempo contínuo ou CTQW (em inglês "Continuous-time quantum walk"), é uma caminhada em um determinado grafo conectado que é ditada por uma matriz unitária variando no tempo que se baseia no Hamiltoniano do sistema quântico[1] e na matriz de adjacência.[2][3]

Definição matemática[editar | editar código-fonte]

Uma caminhada quântica contínua (CTQW) em um grafo G = (V,E), onde V é o conjunto de vértices (nós) e E é o conjunto de arestas que conectam os nós, é definido da seguinte maneira:

  • Deixe que A seja a matriz de adjacência |V| |V| de G com elementos

e D ser a matriz de grau[4][5] |V| |V| de G (para o qual a entrada diagonal correspondente ao vértice v é grau (v)), e deixe L = D - A, ser a matriz laplaciana[6][7][8] correspondente que é semidefinida positiva. A caminhada quântica em tempo contínuo no gráfico G é então definida pela matriz unitária


onde é a unidade imaginária e a matriz . A probabilidade de uma caminhada a partir do vértice terminando no vértice no tempo é dado por .Consequentemente, a partir do estado quântico e realizando uma caminhada quântica para o tempo resultará no novo estado e medição irá assim localizar a caminhada no vértice com a probabilidade .[9]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Griffiths, David (2005). Introduction to Quantum Mechanics 2nd ed. [S.l.: s.n.] p. 353 
  2. Continuous-Time Quantum Walks: Models for Coherent Transport on Complex Networks por Oliver Muelken e Alexander Blumen, publicado em "Physics Reports" 502, 37-87 (2011) - DOI: 10.1016/j.physrep.2011.01.002 (arXiv:1101.2572)
  3. Continuous-Time Quantum Walks on Directed Bipartite Graphs por Beat Tödtli, et al, publicado pelo Jornal "Phys. Rev." A 94, 052338 (2016) DOI: 10.1103/PhysRevA.94.052338 (arXiv:1606.00992)
  4. Chung, Fan; Lu, Linyuan; Vu, Van (2003), «Spectra of random graphs with given expected degrees», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 100 (11): 6313–6318, MR 1982145, doi:10.1073/pnas.0937490100 .
  5. Mohar, Bojan (2004), «Graph Laplacians», in: Beineke, Lowell W.; Wilson, Robin J., Topics in algebraic graph theory, ISBN 0-521-80197-4, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 102, Cambridge University Press, Cambridge, pp. 113–136, MR 2125091 .
  6. Eric W. Weisstein, Laplacian Matrix em MathWorld
  7. T. Sunada, Discrete geometric analysis, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, (ed. by P. Exner, J. P. Keating, P. Kuchment, T. Sunada, A. Teplyaev), 77 (2008), 51-86.
  8. B. Bollobaás, Modern Graph Theory, Springer-Verlag (1998, corrected ed. 2013), ISBN 0-387-98488-7, Chapters II.3 (Vector Spaces and Matrices Associated with Graphs), VIII.2 (The Adjacency Matrix and the Laplacian), IX.2 (Electrical Networks and Random Walks).
  9. H. Gerhardt and J. Watrous, Continuous-time quantum walks on the symmetric group, quant-ph/0305182
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