Pré-ordem: diferenças entre revisões
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* Toda pré-ordem pode gerar uma topologia, [[Topologia de Alexandrov]] e, de fato, toda pré-ordem admite uma [[Função bijetora|bijeção]] com uma topologia de Alexandrov neste conjunto. |
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== Esquema de temas relacionados == |
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Revisão das 19h38min de 30 de maio de 2013
Em matemática, mais especificamente em teoria da ordem, uma pré-ordem é uma relação binária reflexiva e transitiva. Toda ordem parcial ou relação de equivalência é também uma pré-ordem.
Definição formal
Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A (ou seja, R subconjunto de AxA). Então, R é uma pré-ordem sobre A se, e somente se, R é reflexiva e transitiva. Isto é:
(propriedade reflexiva)
(propriedade transitiva)
Muitas vezes é usada a notação de par-ordenado. Neste caso, escreveríamos: é uma pré-ordem.
Exemplos
- Todo espaço topológico finito gera uma pré-ordem nos seus pontos, na qual x ≤ y se, e somente se, x pertence a toda vizinhança de y.
- Sobre os arcos de um grafo orientado, a relação ser acessível por é uma pré-ordem. Se o digrafo é acíclico, essa relação vira uma ordem.
- Em um anel comutativo, a relação divide é uma pré-ordem.
- Seja um monóide. Definimos a relação em como
- .
- Assim, é uma pré-ordem.
- A relação definida por , injetora.
- Dada uma relação de pré-ordem , então, também é uma pré-ordem.
- Uma categoria com no máximo um morfismo de algum objeto para algum outro onjeto é uma pré-ordem. Neste sentido, categorias "generalizam" pré-ordens aceitando mais do que uma relação entre objetos: cada morfismo é uma relação de pré-ordem diferente.
- Considere o conjunto de todas as funções do conjunto dos números naturais em . Definimos a relação para como
- (considerando como a ordem natual de ).
- Então é uma pré-ordem.
Usos
- Toda pré-ordem pode gerar uma topologia, Topologia de Alexandrov e, de fato, toda pré-ordem admite uma bijeção com uma topologia de Alexandrov neste conjunto.
- Pré-ordens podem ser usadas para definir álgebras interiores.
- Pré-ordens induzem a semântica de Kripke para certos tipos de lógicas modais.
Esquema de temas relacionados
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Ver também
- Relação de ordem - pré-ordem que é também anti-simétrica.
- Relação de equivalência - pré-ordem que é também uma relação simétrica.
- Ordem total - pré-ordem que é também total e anti-simétrica.
- Lema de Newman
Referências
- Schröder, Bernd S. W. (2002), Ordered Sets: An Introduction, ISBN 0-8176-4128-9, Boston: Birkhäuser