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Revisão das 19h00min de 25 de outubro de 2019

A radiciação é uma operação matemática inversa à potenciação, assim como a divisão é o inverso da multiplicação.

Para um número real $a$ , a expressão ${\sqrt[{n}]{a}}$ representa o único número real x que verifica $x^{n}=a,$ e tem o mesmo sinal que a (quando existe). Quando n é omisso, significa que $n=2$ e o símbolo de radical refere-se à raiz quadrada. A $x$ chama-se a raiz, a $n$ índice, a $a$ radicando e a ${\sqrt {\,\,\,}}$ radical. Quando $n=3$ , dizemos que se trata da raiz do cub

A raiz quadrada leva este nome pois para um quadrado de área $a$ o lado deste quadrado medirá ${\sqrt {a}}$ . É fácil verificar para $a=100$ , quando percebemos que o lado desde quadrado deve ser $10$ . O mesmo raciocínio se estivéssemos tratando de $n=3$ .

Um erro comum é achar que a raiz par de um número, em especial a raiz quadrada, deve ser "mais ou menos" $a$ . Isso advém do fato que os estudantes quando aprendem a resolver equações quadráticas como $x^{2}=4$ acham que isso é equivalente a tirar a raiz: não é. De fato, existem dois valores $\pm 2$ que satisfazem $x^{2}=4$ . No entanto, existe apenas uma resposta para ${\sqrt {4}}$ que é $2$ . Se trata de uma convenção matemática a ideia de que a radiciação de índice par de um número positivo será o número positivo que elevado a este expoente resulta no radicando.

Temos uma colocação de algarismos na Raiz Quadrada. EX: ${\sqrt {9}}$ (esse número se chama radical que vem da potência $3^{2},$ também conhecida como 3 ao quadrado. Quem vem a ser 3 x 3, não 3 x 2).

História

A origem do símbolo √ usado para representar uma raiz é bastante especulativo. Algumas fontes dizem que o símbolo foi usado pela primeira vez pelos árabes, e o primeiro uso foi de Al-Qalasadi (1421-1486), e que o símbolo vem da letra árabe ج, a primeira letra da palavra "Jadhir".

Muitos, incluindo Leonard Euler,^[1] acreditam que o símbolo origina-se da letra r, que é a primeira letra da palavra radix que em latim se refere à mesma operação matemática. O símbolo foi visto pela primeira vez impresso sem o vínculo (a linha horizontal que fica sobre os números dentro da raiz) em 1525 no Die Coss do matemático alemão Christoff Rudolff.

Propriedades^[2]

Para a e b positivos tem-se:

${\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}},$
${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}},$
${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},$
${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{a}}$
$({\sqrt[{n}]{a}})^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$
$a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$ ^[3]
$a^{-{\frac {m}{n}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$
${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=a$
${\sqrt[{2}]{a\pm {\sqrt {b}}}}={\sqrt[{2}]{(a+{\sqrt {a^{2}-b}})/2}}\pm {\sqrt[{2}]{(a-{\sqrt {a^{2}-b}})/2}}$

Simplificação de radicais

Trata-se do processo através do qual simplifica-se os radicais, sejam eles números ou polinômios, que possuam ou não raízes exatas com o intuito de deixá-los com uma forma mais compacta que permite a facilitação dos cálculos onde eles estejam envolvidos. Esse processo se dá através de técnicas matemáticas como a decomposição em fatores primos, ou seja, a fatoração e as propriedades dos radicais.

Exemplos:

$a){\sqrt[{3}]{16}}$

Decompomos 16 em fatores primos:

Assim temos:

${\sqrt[{3}]{16}}={\sqrt[{3}]{2^{4}}}={\sqrt[{3}]{2^{3}}}.{\sqrt[{3}]{2}}=2{\sqrt[{3}]{2}}.$

$b){\sqrt {160}}$

Decompomos 160 em fatores primos:

Assim temos:

${\sqrt {160}}={\sqrt {2^{5}.5}}={\sqrt {2^{4}.2.5}}={\sqrt {2^{2}}}.{\sqrt {2^{2}}}.{\sqrt {2.5}}=2.2.{\sqrt {2.5}}=4.{\sqrt {10}}$

$c){\sqrt[{3}]{a^{3}b^{2}}}$

Temos:

${\sqrt[{3}]{a^{3}b^{2}}}={\sqrt[{3}]{a^{3}}}.{\sqrt[{3}]{b^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{b^{2}}}$

$d){\sqrt {25a^{2}b^{7}}}$

Temos:

${\sqrt {25a^{2}b^{7}}}={\sqrt {5^{2}.a^{2}.b^{6}.b}}={\sqrt {5^{2}}}.{\sqrt {a^{2}}}.{\sqrt {b^{6}}}.{\sqrt {b}}=5ab^{3}{\sqrt {b}}$

Operações com radicais

Para se efetuar operações entre radicais é necessário aplicar as suas propriedades, propriedades operatórias da adição e multiplicação de números reais, e ainda, se for o caso, simplificação de radicais, fatoração, entre outras. Abaixo seguem alguns exemplos:

$a)4{\sqrt {2}}+6{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}(4+6-3)=7{\sqrt {2}}$

$b)4{\sqrt {12}}+6{\sqrt {75}}=4.2{\sqrt {3}}+6.5{\sqrt {3}}=8{\sqrt {3}}+30{\sqrt {3}}=38{\sqrt {3}}$

$c)6{\sqrt[{5}]{3}}.4{\sqrt[{5}]{2}}=(6.4).({\sqrt[{5}]{3}}.{\sqrt[{5}]{2}})=24{\sqrt[{5}]{6}}$

$d)12{\sqrt[{3}]{10}}:4{\sqrt[{3}]{5}}={\frac {12{\sqrt[{3}]{10}}}{4{\sqrt[{3}]{5}}}}={\frac {12}{4}}.{\frac {\sqrt[{3}]{10}}{\sqrt[{3}]{5}}}=3.{\sqrt[{3}]{\frac {10}{5}}}=3{\sqrt[{3}]{2}}$

Racionalização

Quando o denominador de uma fração envolve radicais, o processo pelo qual se transforma essa fração neutra cujo denominador não tem radicais chama-se racionalização de fração.

Exemplos:

{\frac {a}{\sqrt {b}}}={\frac {a{\sqrt {b}}}{b}}

{\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}

Algoritmo de extração de raiz quadrada

Segue abaixo uma animação que demonstra um algoritmo de extração da raiz quadrada.

Notas

↑ Leonhard Euler (1755). Institutiones calculi differentialis (em Latin). [S.l.: s.n.]
↑ Paiva, Manoel (2015). Matemática 1: Ensino Médio. São Paulo: Moderna. 221 páginas |acessodata= requer |url= (ajuda)
↑ «Simplificaçao de radicais». Só Matemática. Consultado em 10 de setembro de 2019

Ver também

[1] Leonhard Euler (1755). Institutiones calculi differentialis (em Latin). [S.l.: s.n.]

[2] Paiva, Manoel (2015). Matemática 1: Ensino Médio. São Paulo: Moderna. 221 páginas |acessodata= requer |url= (ajuda)

[3] «Simplificaçao de radicais». Só Matemática. Consultado em 10 de setembro de 2019

[1]

[2]

[3]

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 Para um [[número real]] <math>a</math>, a expressão <math>\sqrt[n]{a}</math> representa o único número real ''x'' que verifica <math>x^n=a,</math> e tem o mesmo sinal que ''a'' (quando existe). Quando ''n'' é omisso, significa que <math>n=2</math> e o símbolo de radical refere-se à [[raiz quadrada]].
-A <math>x</math> chama-se a '''raiz''', a <math>n</math> '''índice''', a <math>a</math> '''radicando''' e a <math>\sqrt{\,\,\,}</math> '''radical'''. Quando <math>n = 3</math>, dizemos que se trata da raiz cúbica.
+A <math>x</math> chama-se a '''raiz''', a <math>n</math> '''índice''', a <math>a</math> '''radicando''' e a <math>\sqrt{\,\,\,}</math> '''radical'''. Quando <math>n = 3</math>, dizemos que se trata da raiz do cub
 A raiz quadrada leva este nome pois para um quadrado de área <math>a</math> o lado deste quadrado medirá <math>\sqrt{a}</math>. É fácil verificar para <math>a = 100</math>, quando percebemos que o lado desde quadrado deve ser <math>10</math>. O mesmo raciocínio se estivéssemos tratando de <math>n = 3</math>.