Espectro (matemática)

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Em matemática, o espectro de uma matriz é o conjunto dos autovalores de . Pode-se definir, em geral, o espectro de um elemento qualquer de uma álgebra de Banach.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja uma álgebra de Banach complexa munida com uma identidade multiplicativa . Definimos o espectro de um elemento por

onde é o conjunto dos elementos invertíveis de .

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

Seja a álgebra das matrizes quadradas de ordem n, com entradas complexas e munidas com a seguinte norma:

Para uma matriz , segue da definição que coincide com o conjunto dos autovalores de , isto é, o conjunto dos 's em que satisfazem .

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço topológico de Hausdoff compacto. A norma do supremo

define uma estrutura de álgebra de Banach sobre a álgebra das funções a valores complexos sobre , espaço denotado por , ou simplesmente .

Em , é fácil mostrar que o espectro de uma função coincide com sua imagem.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Segue da definição que o espectro de um elemento de uma álgebra de Banach é um conjunto compacto, contido no disco em centrado na origem e de raio .

O conceito de espectro é amplamente utilizado na análise funcional, e principalmente na teoria de álgebras C*. Um resultado importante que envolve espectro é conhecido como o Teorema Espectral.

Uma das consequências do teorema espectral é a seguinte: dado um operador limitado sobre um espaço de Hilbert da forma , (onde é um espaço de medida), pode-se definir de forma satisfatória , para qualquer função contínua em . Este procedimento é conhecido como cálculo funcional contínuo.