Função matricial

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Em matemática, uma função matricial é uma função cujo domínio são matrizes. O determinante, o traço e a exponencial matricial são exemplos de funções matriciais cujo domínio são as matrizes quadradas com imagem no números complexos.

O termo também pode ser usado para a generalização de uma função f de escalares, para uma função fM entre matrizes quadradas. Por exemplo, um polinômio p(x) leva naturalmente a uma função p de domínio no conjunto das matrizes quadradas de ordem nxn e contra-domínio no mesmo conjunto.

Polinômio matricial[editar | editar código-fonte]

Seja um polinômio na variável definido por: . Se é uma matrix quadrada então é definido como: . onde é a matriz identidade .

Fixando-se a matriz A, a função

que leva cada polinômio p com coeficientes em K na matriz p(A) é um homomorfismo das álgebras. Em particular, é um homomorfismo de anéis, portanto o seu núcleo é um ideal de K[x].

A seguinte propriedade vale para qualquer polinômio p, quando a matriz A é um bloco de Jordan:

Isto motiva a definição de f(A) para qualquer matriz A e qualquer função f para as quais as derivadas de ordem suficiente estão definidas nos auto-valores da matriz.

Calculo funcional[editar | editar código-fonte]

Se é uma matriz auto-adjunta e é um polinômio , então vale a igualdade:

aqui a norma matricial é a norma operacional euclidiana e é conjunto de autovalores de

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