Identidades logarítmicas

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Em matemática, existem diversas identidades logarítmicas.

Identidades algébricas ou leis[editar | editar código-fonte]

Usando operações simples[editar | editar código-fonte]

Logaritmos podem ser usados para realizar-se cálculos mais facilmente. Por exemplo, dois números podem ser multiplicados apenas usando-se uma tábua de logaritmos e adição.

porque
porque
porque
porque
porque
porque

Onde e são números reais positivos e Tanto quanto são números reais.

Identidades triviais[editar | editar código-fonte]

porque
porque

Note-se que é indefinido porque não existe qualquer número tal que De fato, existe uma assímptota vertical no gráfico de quando

Cancelando exponenciais[editar | editar código-fonte]

Logaritmos e exponenciais (antilogaritmos) com a mesma base cancelam-se um ao outro. Isto é verdadeiro porque logaritmos e exponenciais são operações inversas (assim como multiplicação e divisão).

porque
porque

Mudança de base[editar | editar código-fonte]

Esta identidade é necessária para obter-se logaritmos em calculadoras. . Por exemplo, a maioria das calculadoras tem teclas para ln e para log10, mas não para log2. Para encontrar-se log2(3), deve-se calcular log10(3) / log10(2) (ou ln(3)/ln(2), os quais resultam o mesmo resultado).

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Considerando-se
Então
Tomando-se em ambos os lados:
Simplificando e resolvendo para
Dado que então

Esta fórmula tem algumas consequências:


onde é qualquer permutação dos subscritos 1, …, n. Por exemplo

Soma/subtração[editar | editar código-fonte]

A seguinte regra de soma/subtração é especialmente útil em teoria da probabilidade quando se trata de uma soma de log-probabilidades:

a qual resulta nos casos especiais:

Note-se que na prática e tem que ser ligados no lado direito das equações se Observe-se também que a identidade de subtração não está definida se uma vez que o logaritmo de zero não é definido.

Mais genericamente:

onde

Identidades do cálculo[editar | editar código-fonte]

Limites[editar | editar código-fonte]

O último limite é muitas vezes resumido como "logaritmos crescem mais lentamente do que qualquer potência ou raiz de x".

Derivadas de funções logarítmicas[editar | editar código-fonte]

Definição integral[editar | editar código-fonte]

Integrais de funções logarítmicas[editar | editar código-fonte]

Para lembrar integrais mais altas, é conveniente definir:

Então,

Aproximando grandes números[editar | editar código-fonte]

As identidades de logaritmos pode ser usadas para aproximar grandes números. Note-se que logb(a) + logb(c) = logb(a*c), onde a, b, e c são constantes arbitrárias. Supondo-se que quer se aproximat o 44° primo de Mersenne, 232.582.657 - 1. Para obter-se o logaritmo de base 10, nós devemos miultiplicar 32.582.657 por log10(2), tomando 9.808.357,09543 = 9.808.357 + 0,09543. Podemos então tomar 109.808.357 * 100,09543 ≈ 1,25 * 109.808.357.

Similarmente, fatoriais podem ser aproximados por somar-se os logaritmos dos termos.

Identidades logarítmicas complexas[editar | editar código-fonte]

O logaritmo complexo é o análogo em números complexos da função logaritmo. Nenhuma função no plano complexo pode satisfazer as regras normais para logaritmos. Entretanto uma função multivalorada pode ser definida a qual satisfaça a maioria das identidades. É comum considerar-se esta como uma função definida em um superfície de Riemann. A única versão valorada chamada valor principal do logaritmo pode ser definida a qual é descontínua no eixo x negativo e é igual a versão de vários valores em um único ramo de corte

Definições[editar | editar código-fonte]

A convenção usada aqui será que a primeira letra em maiúscula é usada para o valor principal das funções e a versão minúscula refere-se à função de valor multivalorada. A única versão valorada de definições e identidades é sempre dada primeiro, seguida por uma seção separada para as várias versões valoradas.

ln(r) é o padrão logaritmo natural do número real r.
Log(z) é o valor principal da função logaritmo complexo e tem parte imaginária no intervalo (-π, π].
Arg(z) é o valor principal da função arg, seu valor é restrito a (-π, π]. Pode ser computado usando-se Arg(x+iy)= atan2(y, x).

A versão valorada múltipla de log(z) é um conjunto, mas é mais fácil escrevê-lo sem barras e usá-lo em fórmulas seguindo regras óbvias.

log(z) é o conjunto dos números complexos v os quais satisfazem ev = z
arg(z) é o conjunto dos valores possíveis da função arg aplicada a z.

Quando k é qualquer inteiro:

Constantes[editar | editar código-fonte]

Principais formas de valoração:

Formas de valoração múltipla, para qualquer k inteiro:

Soma[editar | editar código-fonte]

Principais formas de valoração:

Formas de valoração múltipla:

Potências[editar | editar código-fonte]

Um potência complexa de um número complexo pode ter muitos valores possíveis.

Principais formas de valoração:

Formas de valoração múltipla:

Onde k1, k2 são quaisquer inteiros: