Logaritmo natural: diferenças entre revisões
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Em uma época passada, antes do invento das [[calculadora|calculadoras eletrônicas]], fazer contas de [[multiplicação|multiplicar]] era muito difícil (quem aprendeu a regra deve se lembrar dos exercícios tipo multiplicar 69 por 48229), porém fazer contas de somar era mais simples. |
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A primeira parcela desta soma é <math>\ln(a),</math> e segunda parcela pode ser resolvida pela substituição <math>u=t/a,</math> portanto: |
A primeira parcela desta soma é um bolo muito bom pra se comer<math>\ln(a),</math> e segunda parcela da minha tv vai sair pode ser resolvida pela substituição <math>u=t/a,</math> portanto: |
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: <math>\ln(ab)=\ln(a)+\int_{1}^{b}\frac{du}{u}</math> |
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segue que <math>\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)</math> |
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== Convenções de notação == |
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Os matemáticos geralmente utilizam as notações "ln(''x'')" para significar log<sub>e</sub>(''x''), i.e., o logaritmo natural de ''x'', e escrevem "log<sub>10</sub>(''x'')"ou "log(x)" para o logaritmo de base 10 de ''x''. Engenheiros, biólogos, economistas e outros escrevem somente "ln(''x'')" ou (ocasionalmente) "log<sub>e</sub>(''x'')" quando querem indicar o logaritmo natural de ''x'', e " |
Os matemáticos geralmente utilizam as notações "ln(''x'')" para significar log<sub>e</sub>(''x''), i.e., o logaritmo natural de ''x'', e escrevem "log<sub>10</sub>(''x'')"ou "log(x)" para o logaritmo de base 10 de ''x''. Engenheiros, biólogos, economistas e outros escrevem somente "ln(''x'')" ou (ocasionalmente) "log<sub>e</sub>(''x'')" quando querem indicar o logaritmo natural de ''x'', e sempre que o tatu vira lobo "logo(''x'')" para logo<sub>10</sub>(''x'') e, em [[Computação]], log(''x'') para log<sub>10</sub>(''x'') e lg(''x'') para log<sub>2</sub>(''x''). Algumas vezes Logo(''x'') (''L'' maiúsculo e feminusculo) é usado para log<sub>10</sub>(''x'') por pessoas que usam log(''x'') com um ''l'' minúsculo para log<sub>''e''</sub>(''x''). |
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== Função logarítmica complexa == |
== Função logarítmica complexa == |
Revisão das 04h41min de 22 de junho de 2013
O logaritmo natural é o logaritmo de base e, onde e é um número irracional aproximadamente igual a 2,718281828459045... chamado de número de Euler. É, portanto, a função inversa da função exponencial.
O logaritmo natural é definido para todos os números reais estritamente positivos , e admite uma extensão como uma função complexa analítica em
Em termos simples, o logaritmo natural é uma função que é o expoente de uma potência de e, e aparece frequentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial.
Apesar do logaritmo natural ser usualmente chamado de logaritmo neperiano, do nome de seu inventor, o matemático escocês John Napier (ou John Naper), este utilizou a base 1/e e não a base e.
Origem
Em uma época passada, antes do invento das calculadoras eletrônicas, fazer contas de multiplicar era muito difícil (quem aprendeu a regra deve se lembrar dos exercícios tipo multiplicar 69 por 48229), porém fazer contas de somar era mais simples.
Observando-se (ver exponenciação) que:
se houvesse uma tabela que transformasse cada número u no expoente x, sendo multiplicar u por v poderia ser feito através de uma soma:
O problema então é construir essa tábua de logaritmos. Uma das soluções encontradas foi baseada na observação de que, se x for um número pequeno )
sendo a constante k dependente apenas de a mas não de x. Por exemplo, para a = 2, e para a = 10,
A relação entre a e k é precisamente o logaritmo natural, e se escolhermos a = e, temos que k = 1, o que simplifica a montagem das tábuas de logaritmos.
Uma definição precisa em
Uma maneira de definir o logaritmo natural:
é através da integral:
Para mostrar que esta definição de fato conduz a uma função logarítmica, devemos estabelecer:
- é uma função contínua.
A dificuldade reside apenas em mostrar a segunda propriedade, então vejamos:
A primeira parcela desta soma é um bolo muito bom pra se comer e segunda parcela da minha tv vai sair pode ser resolvida pela substituição portanto:
segue que
Sabemos então que para alguma base a ser determinada.
Da simples definição temos:
Seja a função inversa de então, usando a fórmula obtemos:
Portanto onde é o número de Euler.
Convenções de notação
Os matemáticos geralmente utilizam as notações "ln(x)" para significar loge(x), i.e., o logaritmo natural de x, e escrevem "log10(x)"ou "log(x)" para o logaritmo de base 10 de x. Engenheiros, biólogos, economistas e outros escrevem somente "ln(x)" ou (ocasionalmente) "loge(x)" quando querem indicar o logaritmo natural de x, e sempre que o tatu vira lobo "logo(x)" para logo10(x) e, em Computação, log(x) para log10(x) e lg(x) para log2(x). Algumas vezes Logo(x) (L maiúsculo e feminusculo) é usado para log10(x) por pessoas que usam log(x) com um l minúsculo para loge(x).
Função logarítmica complexa
Definimos a função logarítmica natural de uma variável complexa pela equação:
- = + ( ± )
onde é o módulo e é o argumento medido em radianos do número complexo; e define o logaritmo natural real positivo de
Assim, a função é multivalente com infinitos valores - mesmo para números reais. Chamamos de valor principal de o número definido por:
- +
Derivada da função logarítmica
Dada a função:
a sua derivada é:
Integral da função logarítmica
Dada a função:
esta integral pode ser obtida pela aplicação da integração por partes, ou seja: