Medida exterior de Lebesgue

Em matemática, a medida exterior de Lebesgue é uma função que associa a cada subconjunto de $\mathbb {R} ^{n}$ um número real estendido não negativo que está relacionado com o "volume" ocupado por ele.

Propriedades

• Seja $I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}],~~a_{i}\leq b_{i}$, então:

$\mu ^{*}(I)=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\ldots (b_{n}-a_{n})$

• Em especial:

$\mu ^{*}(\emptyset )=0$

• $\mu ^{*}\left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu ^{*}(E_{j})$ (sub-aditividade)
• Em especial:

$A\subseteq B\Longrightarrow \mu ^{*}(A)\leq \mu ^{*}(B)$ (monotonicidade)

• Se $A_{\lambda }$ é definido como $A_{\lambda }=\{x+\lambda :x\in A\}$ então:

$\mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A_{\lambda })$ (invariância por translações)

• Se $T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ é uma transformação linear e $TA:=\{Tx:x\in A\}$ então:

$\mu ^{*}(TA)=|T|\mu ^{*}(A)$, onde $|T|$ é o determinante da transformação.

Definição

Seja o conjunto elementar $I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}],~~a_{i}\leq b_{i}$. Define-se o volume de $I$ como:

${\hbox{vol}}(I)=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\ldots (b_{n}-a_{n})$

É claro que qualquer subconjunto de $\mathbb {R} ^{n}$ está contido na união enumerável desses conjuntos, pois:

$\mathbb {R} ^{n}\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }[-j,j]^{n}$

Então a medida exterior de Lebesgue de um conjunto $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ é definida como:

$\mu ^{*}(E)=\inf \left\{\sum _{j=1}^{\infty }{\hbox{vol}}(I_{j}):\bigcup I_{j}\supseteq E\right\}$, onde $I_{j}$ são elementares.

O ínfimo é tomado sobre todas as possíveis famílias enumeráveis de conjuntos elementares que cobrem $E$.

A medida exterior é, portanto, uma função cujo domínio são as partes de $\mathbb {R} ^{n}$, $\mu ^{*}:P(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{\infty \}$

Conjuntos de medida zero

Um conjunto é dito ter medida de Lebesgue zero se sua medida exterior for nula. Surge da teoria da medida de Lebesgue que todo conjunto de medida exterior nula é mensurável e possui medida nula.

Ver também

• Medida
• Medida exterior

Bibliografia

• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (28 de novembro de 2009). Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (em inglês). [S.l.]: Princeton University Press