Nó de torção

Nó de torção com 6 meias-voltas

Na teoria dos nós, um ramo da matemática, o nó torcido é um nó obtido por repetidas torções em um laço e, em seguida, liga-se as extremidades. Os nós de torção são de uma família de infinitos nós, e são considerados o tipo mais simples de nós após os nós torais.

Construção

Um nó de torção é obtido pela ligação entre as duas extremidades de um laço torcido. Qualquer número de meia-voltas, podem ser introduzidos ao laço antes de ligar a extremidade, resultando em uma infinita família de possibilidades. As figuras seguintes mostram os primeiros nós de torção:

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  Uma meia-volta (nó de trevo)
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  Duas meias-voltas (Nó figura oito)
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  Três meias-voltas (nó 5,2)
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  Quatro meias-voltas (nó 6,1)
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  Cinco voltas (nó 7,2)
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  Seis meias-voltas (nó 8,1)

Propriedades

O nó 6,1 é criado pela passagem de uma extremidade de umnó trivial com quatro meias-voltas com o outro.

Todos os nós de  torção temos desfazendo número, uma vez que o nó pode ser desatado pelo desligamento de duas extremidades. Cada nó de torção também é um nó de ponto de duas ligações. De nós de torção, apenas o nó trivial e o nó 6,1 são nós de fatia. Um nó de torção com $n$ meias-voltas tem o número de cruzamentos de $n+2.$ Todos os nós de torção podem ser invertidos, mas os únicos nós de torção ambiquirais são: Nó trivial e o Nó figura oito.

Constantes

As constantes de um nó de torção depende do número $n$ de meias-voltas. O polinômio de Alexander de um nó de torção é dado pela fórmula

$$\Delta (t)={\begin{cases}{\frac {n+1}{2}}t-n+{\frac {n+1}{2}}t^{-1}&{\text{se }}n{\text{ é ímpar}}\\-{\frac {n}{2}}t+(n+1)-{\frac {n}{2}}t^{-1}&{\text{se }}n{\text{ é par,}}\\\end{cases}}$$

e o polinômio de Conway é

$$\nabla (z)={\begin{cases}{\frac {n+1}{2}}z^{2}+1&{\text{se }}n{\text{ é ímpar}}\\1-{\frac {n}{2}}z^{2}&{\text{se }}n{\text{ é par.}}\\\end{cases}}$$

Quando ${\displaystyle }$ é ímpar, o polinômio de Jones é

$$V(q)={\frac {1+q^{-2}+q^{-n}-q^{-n-3}}{q+1}},$$

e quando ${\displaystyle }$ é par, é

$$V(q)={\frac {q^{3}+q-q^{3-n}+q^{-n}}{q+1}}.$$

Ver também

• Nó trivial
• Nó de trevo
• Nó figura oito
• Nó 6,1
• Nó 7,1
• Nó 7,2