Quatro quatros

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O objetivo do problema dos quatro quatros é formar números inteiros usando quatro algarismos 4 e operações aritméticas elementares. Por exemplo, para formar o número 3, podemos fazer 3 = (4 + 4 + 4) / 4.

Problema[editar | editar código-fonte]

O problema dos quatro quatros foi apresentado na obra O Homem que Calculava, do autor brasileiro Júlio César de Mello e Souza, sob o heterônimo Malba Tahan. O problema consiste em formar expressões aritméticas utilizando apenas quatro algarismos 4, equivalentes, cada um, aos números inteiros.

Segundo o autor, é possível formar todos os números inteiros entre 0 e 100, utilizando, além dos números, quaisquer sinais e operações matemáticas, sem envolver letras ou inventar funções apenas para resolver o problema. Entusiastas têm resolvido o problema para mesmo além dos 10.000 primeiros inteiros.

Operações utilizadas[editar | editar código-fonte]

Para encontrar as soluções para este problema, foram empregados os seguintes sinais da matemática:

  • + (adição)
  • - (subtração)
  • * (multiplicação)
  • (divisão)
  • n! (fatorial - representa o produto entre todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n — )
  • n? (termial - representa a soma de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n — )
  • (exponenciação)

Além dessas operações, pode-se fazer uso da notação decimal, usando-se a concatenação do algarismo 4 para formar os números 44, 444 e 4444.

Fórmula Geral[editar | editar código-fonte]

Uma solução geral para o problema dos Quatro Quatros, proposta por Rui Chamas e Roger Chamas,[1] é a que todo número natural pode ser representado através da fórmula abaixo:

Na formula alternativa abaixo, o número de raízes quadradas no termo da direita é igual ao número que se quer representar na esquerda. Os termos com a mesma cor são equivalentes.

alt =Fórmula do termo geral para o problema dos quatro quatros

Soluções (até o 111)[editar | editar código-fonte]

Soluções

π, i, e[editar | editar código-fonte]

A função gama generaliza o fatorial para números que não são inteiros, ou, mais precisamente, Em particular, como pode-se dizer que Portanto, o número transcendente π pode ser escrito com quatro quatros:

A unidade imaginária i também pode ser escrita como:

Não é possível escrever o número de Euler e, porém é possível se aproximar o quanto se queira:

Referências

  1. Revista do Professor de Matematica N 04

Ligações externas[editar | editar código-fonte]