Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Em matemática , uma prova inválida é uma sequência aparentemente lógica de afirmações que geram uma conclusão absurda. Como uma verdade não pode implicar uma falsidade, conclui-se que deve haver algum passo falso na prova.
A maioria dessas provas usa a divisão por zero e a raiz quadrada . Por exemplo, prova-se que 2 + 2 = 5 escrevendo-se (2 + 2 - 5) (2 - 2) = 0, reagrupando-se os termos como (2 + 2) (2 - 2) = 5 (2 - 2) e cancelando o termo (2-2). Ou prova-se que 1 = -1 escrevendo-se
(
1
)
2
=
(
−
1
)
2
{\displaystyle (1)^{2}=(-1)^{2}}
e cancelando o expoente.
Não deve ser confundido com o paradoxo , que, em sua maioria, são resultados válidos mas que vão contra a intuição.
Teorema de Muhammad Said al Khamutraa
Prova-se que 1+1= 2 supondo que a bisseção divide em dois trechos iguais de (a+a)/2= a
Ou seja a+a= 2a 1+1= 2 é caso particular. Como não há meios de traçar o um e o dois sem a bisseção, a prova de Russell e o teorema da incompletude de Gödel são inválidas. (Q.E.D.)
Vamos começar com uma equação bem simples.
Resolva a equação
1
−
x
3
+
x
−
3
3
=
1
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{1-x}}+{\sqrt[{3}]{x-3}}=1\,}
Elevando ao cubo:
(
1
−
x
)
+
3
1
−
x
3
x
−
3
3
(
1
−
x
3
+
x
−
3
3
)
+
(
x
−
3
)
=
1
{\displaystyle (1-x)+3{\sqrt[{3}]{1-x}}\ {\sqrt[{3}]{x-3}}\ ({\sqrt[{3}]{1-x}}+{\sqrt[{3}]{x-3}})+(x-3)=1\,}
Substituindo a expressão entre parêntesis pelo valor da equação inicial:
−
2
+
3
1
−
x
3
x
−
3
3
=
1
{\displaystyle -2+3{\sqrt[{3}]{1-x}}\ {\sqrt[{3}]{x-3}}=1\,}
1
−
x
3
x
−
3
3
=
1
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{1-x}}\ {\sqrt[{3}]{x-3}}=1\,}
Elevando ao cubo essa nova relação:
(
1
−
x
)
(
x
−
3
)
=
1
{\displaystyle (1-x)(x-3)=1\,}
−
x
2
+
4
x
−
3
=
1
{\displaystyle -x^{2}+4x-3=1\,}
x
2
−
4
x
+
4
=
0
{\displaystyle x^{2}-4x+4=0\,}
A solução desta equação é x = 2. Substituindo na equação original, chegamos a:
1
−
2
3
+
2
−
3
3
=
1
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{1-2}}+{\sqrt[{3}]{2-3}}=1\,}
(
−
1
)
+
(
−
1
)
=
1
{\displaystyle (-1)+(-1)=1\,}
Q.E.D.
Sejam x e y dois números quaisquer
Então vamos definir
a
=
x
−
y
,
b
=
(
x
+
y
)
2
,
c
=
4
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
{\displaystyle a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,}
Vamos definir também
u
=
a
,
v
=
b
−
c
{\displaystyle u=a\ ,\ v=b-c\,}
Vamos calcular agora duas expressões em u e v :
(
u
+
v
)
3
=
u
3
+
3
u
2
v
+
3
u
v
+
v
v
{\displaystyle (u+{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}+3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv+v{\sqrt {v}}}
(
u
−
v
)
3
=
u
3
−
3
u
2
v
+
3
u
v
−
v
v
{\displaystyle (u-{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}-3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv-v{\sqrt {v}}}
Substituindo os valores
u
=
a
,
v
=
b
−
c
{\displaystyle u=a\ ,\ v=b-c}
, chegamos a:
(
a
+
b
−
c
)
3
=
a
(
a
2
+
3
b
−
3
c
)
+
(
3
a
2
+
b
−
c
)
b
−
c
{\displaystyle (a+{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)+(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}}
(
a
−
b
−
c
)
3
=
a
(
a
2
+
3
b
−
3
c
)
−
(
3
a
2
+
b
−
c
)
b
−
c
{\displaystyle (a-{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)-(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}}
Vamos agora calcular o valor de
3
a
2
+
b
−
c
{\displaystyle 3a^{2}+b-c\,}
Substituindo
a
=
x
−
y
,
b
=
(
x
+
y
)
2
,
c
=
4
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
{\displaystyle a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,}
:
3
a
2
+
b
−
c
=
3
(
x
2
−
2
x
y
+
y
2
)
+
x
2
+
2
x
y
+
y
2
−
4
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
=
0
{\displaystyle 3a^{2}+b-c=3(x^{2}-2xy+y^{2})+x^{2}+2xy+y^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=0\,}
(
a
+
b
−
c
)
3
=
(
a
−
b
−
c
)
3
{\displaystyle (a+{\sqrt {b-c}})^{3}=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}\,}
a
+
b
−
c
=
a
−
b
−
c
{\displaystyle a+{\sqrt {b-c}}=a-{\sqrt {b-c}}\,}
b
−
c
=
0
{\displaystyle {\sqrt {b-c}}=0\,}
b
−
c
=
0
{\displaystyle b-c=0\,}
b
=
c
{\displaystyle b=c\,}
Substituindo
b
=
(
x
+
y
)
2
,
c
=
4
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
{\displaystyle b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,}
:
(
x
+
y
)
2
=
4
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
{\displaystyle (x+y)^{2}=4(x^{2}-xy+y^{2})\,}
x
2
+
2
x
y
+
y
2
=
4
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
{\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}=4(x^{2}-xy+y^{2})\,}
−
3
x
2
+
6
x
y
−
3
y
2
=
0
{\displaystyle -3x^{2}+6xy-3y^{2}=0\,}
(
x
−
y
)
2
=
0
{\displaystyle (x-y)^{2}=0\,}
x
−
y
=
0
{\displaystyle x-y=0\,}
x
=
y
{\displaystyle x=y\,}
Q.E.D.