Regra geral de Leibniz

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Em cálculo, a regra geral de Leibniz[1] , nomeada depois por Gottfried Wilhelm Leibniz, generaliza a regra do produto. Afirma que se f e g são funções diferenciáveis n-vezes, então a n-ésima derivada do produto fg é dada por

,

onde é Coeficiente binomial.

Isto pode ser provado usando a regra do produto e a indução matemática.

Com a notação Índice múltiplo as regras dizem de forma mais geral:

Esta fórmula pode ser usada para derivar uma fórmula que calcula o símbolo da composição de operadores diferenciais. Na verdade, caso P e Q sejam operadores diferenciais (com coeficientes que são suficientemente diferenciáveis muitas vezes) e . Visto que "R" também é um operador diferencial, o símbolo de "R" é dado por:

Um cálculo direto agora nos dá:

Esta fórmula é conhecida como a de Leibniz. É utilizada para definir a composição, no espaço de símbolos, induzindo a estrutura do anel.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Olver, Applications of Lie groups to differential equations, page 318

Ligações externas[editar | editar código-fonte]