Tabela de derivadas

A operação primária do cálculo diferencial é encontrar a derivada de uma função. Na tabela a seguir, f e g são diferenciáveis em $\mathbb {R}$, e c é um número real. Essas fórmulas são suficientes pap diferenciar qualquer função elementar.

Regras gerais de diferenciação

Linearidade

$\left({cf}\right)'=cf'$

$\left({f+g}\right)'=f'+g'$

Regra do produto

$\left({fg}\right)'=f'g+fg'$

Regra do quociente

$\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0$

Regra da cadeia

$(f\circ g)'=(f'\circ g)g'$

Derivadas de funções simples

${d \over dx}c=0$

${d \over dx}x=1$

${d \over dx}cx=c$

${d \over dx}|x|={|x| \over x}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0$

${d \over dx}x^{c}=cx^{c-1}\qquad {\mbox{ onde tanto }}x^{c}{\mbox{ quanto }}cx^{c-1}{\mbox{ sao definidos}}$

${d \over dx}\left({1 \over x}\right)={d \over dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}$

${d \over dx}\left({1 \over x^{c}}\right)={d \over dx}\left(x^{-c}\right)=-{c \over x^{c+1}}$

${d \over dx}{\sqrt {x}}={d \over dx}x^{1 \over 2}={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0$

Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas

${d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0$

${d \over dx}e^{x}=e^{x}$

${d \over dx}\log _{c}x={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1$

${d \over dx}\ln x={1 \over x},\qquad x>0$

${d \over dx}\ln |x|={1 \over x}$

${d \over dx}x^{x}=x^{x}(1+\ln x)$

Derivadas de funções trigonométricas

${d \over dx}{\mbox{ sen }}x=\cos x$

${d \over dx}\cos x=-{\mbox{sen }}x$

${d \over dx}{\mbox{ tg }}x=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}$

${d \over dx}\sec x={\mbox{ tg }}x\sec x$

${d \over dx}{\mbox{ cotg }}x=-{\mbox{cossec }}^{2}x={-1 \over {\mbox{sen}}^{2}x}$

${d \over dx}{\mbox{ cossec }}x=-{\mbox{cossec }}x{\mbox{ cotg }}x$

${d \over dx}{\mbox{ arcsen }}x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\arccos x={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}{\mbox{ arctg }}x={1 \over 1+x^{2}}$

${d \over dx}\operatorname {arcsec} x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${d \over dx}{\mbox{ arccotg }}x={-1 \over 1+x^{2}}$

${d \over dx}{\mbox{ arccossec }}x={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

Derivadas de funções hiperbólicas

${d \over dx}{\mbox{ senh }}x=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

${d \over dx}\cosh x={\mbox{ senh }}x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

${d \over dx}{\mbox{ tgh }}x={\mbox{sech}}^{2}\,x$

${d \over dx}\,{\mbox{ sech }}\,x=-{\mbox{ tgh }}x\,{\mbox{ sech }}\,x$

${d \over dx}\,{\mbox{ cotgh }}\,x=-\,{\mbox{ cossech}}^{2}\,x$

${d \over dx}\,\operatorname {csch} \,x=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {cossech} \,x$

${d \over dx}\,\operatorname {arcsinh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arccosh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arctanh} \,x={1 \over 1-x^{2}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arcsech} \,x={-1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arccoth} \,x={1 \over 1-x^{2}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arccossech} \,x={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}$

O ALBERTO É O MAIOR!