Na física relativística, o tensor eletromagnético tensão–energia é a contribuição para o tensor tensão–energia devido ao campo eletromagnético.[1] O tensor tensão–energia descreve o fluxo de energia e momento no espaço-tempo. O tensor eletromagnético de tensão–energia contém o negativo do tensor de tensão de Maxwell clássico que governa as interações eletromagnéticas.
No espaço livre e no espaço-tempo plano, o tensor eletromagnético tensão–energia em unidades do S.I. é:<refname="WheelerEtAl"/>
![{\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dfa3cc608d31031e82999deff7f255a953bbb59)
onde
é o tensor eletromagnético e onde
é o tensor métrico de Minkowski [en] de assinatura métrica (− + + +). Ao usar a métrica com assinatura (+ − − −), a expressão à direita do sinal de igual terá sinal oposto.
Explicitamente em forma de matriz:
![{\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f4f8565bf165824f59955a6d87a4618f5be754)
onde
![{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c0cdd7047de9d3cc06a788d93708ce4eb2b002c)
é o vetor de Poynting,
![{\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce364a0d4dae0f1bcf6e3372ff259921ee66496d)
é o tensor de tensão de Maxwell e c é a velocidade da luz. Assim,
é expresso e medido em unidades de pressão do S.I. (pascal).
A permissividade do espaço livre e a permeabilidade do espaço livre em unidades gaussianas c.g.s. são:
![{\displaystyle \epsilon _{0}={\frac {1}{4\pi }},\quad \mu _{0}=4\pi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3823f094f9be1e1d84aad877dd8d2067833f2ff)
então:
![{\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24e0551e95004fe4569ad26a8439f94b5b75c97)
e na forma de matriz explícita:
![{\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f7fe54f4a6cdabbad1da0c44c1e370cec252db)
onde o vetor de Poynting se torna:
![{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2353cf8f7508c54a94a1d0323bdc12993e2d8e23)
O tensor tensão-energia para um campo eletromagnético em um meio dielétrico é menos bem compreendido e é o assunto da controvérsia não resolvida de Abraham – Minkowski.[2]
O elemento
do tensor tensão-energia representa o fluxo do μ-ésimo componente do quadrimomento do campo eletromagnético,
, passando por um hiperplano (
é constante ). Representa a contribuição do eletromagnetismo para a fonte do campo gravitacional (curvatura do espaço-tempo) na relatividade geral.
O tensor eletromagnético tensão-energia tem várias propriedades algébricas:
- É um tensor simétrico:
![{\displaystyle T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3b617d2effe6e6b8fad0ce537e7b8ce8613040)
- O tensor
não tem traços:
![{\displaystyle T^{\alpha }{}_{\alpha }=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fb4eecc9dda84e0452585cade754bc2540b6704)
Prova
Usando a forma explícita do tensor,
![{\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[\eta _{\mu \nu }F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be7aa334b8a95bf86d80c6808e445aea507dcd7)
Baixando os índices e usando o fato de que
![{\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f2c5ccb6139172debe3da972fc65d70f94245b4)
Então, usando
,
![{\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73d7fcb833b1fbaecbd18f9c13a25aaaef8c03e)
Observe que no primeiro termo, μ e α e apenas índices fictícios, então os renomeamos como α e β, respectivamente.
![{\displaystyle T_{\alpha }^{\alpha }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de4c6fec07548a8d17b9f5bf5c848dfeacabddc)
![{\displaystyle T^{00}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598836a770a889de2c7f995841ed364cda0b9617)
A simetria do tensor é como para um tensor tensão–energia geral na relatividade geral. O traço do tensor energia–momento é um escalar de Lorentz; o campo eletromagnético (e em particular as ondas eletromagnéticas) não tem escala de energia invariante de Lorentz, então seu tensor de energia-momento deve ter um traço de fuga. Essa ausência de traços eventualmente se relaciona com a falta de massa do fóton.[3]
O tensor eletromagnético tensão–energia permite uma maneira compacta de escrever as leis de conservação de energia e de momento linear no eletromagnetismo. A divergência do tensor tensão–energia é:
![{\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\eta ^{\mu \rho }\,f_{\rho }=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f78897a5b8e070c7367ceb4e28c2a4d1001746)
onde
é a força de Lorentz (4D) por unidade de volume na matéria.
Esta equação é equivalente às seguintes leis de conservação 3D
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u_{\mathrm {em} }}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {p} _{\mathrm {em} }}{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \cdot \sigma +\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} &=0\ \Leftrightarrow \ \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}-\nabla \cdot \mathbf {\sigma } +\mathbf {f} =0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c35c33b879df99999e0a78a0577effec0a0d7d4)
descrevendo respectivamente o fluxo de densidade de energia eletromagnética
![{\displaystyle u_{\mathrm {em} }={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc7ccd4d59811229ecfe0f48027586d62b71178)
e densidade de momento eletromagnético
![{\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {em} }={\mathbf {S} \over {c^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b336f6db9117013188af2af6d8beb599d8a3471d)
onde J é a densidade de corrente elétrica, ρ a densidade de carga elétrica e
é a densidade de força de Lorentz.
- ↑ Gravitation (em inglês), J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
- ↑ No entanto, veja Pfeifer et al., Review of modern physics (em inglês) 79, página 1197 (2007)
- ↑ Garg, Anupam. Classical electromagnetism in a nutshell (em inglês), página 564 (Princeton university press, 2012).