Equações de Maxwell em espaço-tempo curvo

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Na física, as equações de Maxwell no espaço-tempo curvo governam a dinâmica do campo eletromagnético no espaço-tempo curvo [1] (onde a métrica não pode ser a métrica de Minkowski) ou quando se usa um sistema , não necessariamente cartesiano, arbitrário de coordenadas. Estas equações podem ser vistas como uma generalização das equações de Maxwell, que são normalmente formuladas nas coordenadas locais[nota 1] do espaço-tempo plano. Entretanto porque a relatividade geral dita que a presença de campos eletromagnéticos (ou energia/matéria em geral) induzem curvatura do espaço-tempo, as equações de Maxwell no espaço-tempo plano devem ser vistas como uma aproximação.

Campo electromagnético[editar | editar código-fonte]

O campo electromagnético[2] é um tensor antissimétrico covariante de classe 2[3] , que pode ser definido em termos de potencial electromagnético por

F_{\alpha \beta} \, = \, \partial_{\alpha} A_{\beta} \, - \, \partial_{\beta} A_{\alpha} \,.

Para verificar que esta equação é invariante, podemos transformar as coordenadas (tal como descrito no tratamento clássico de tensores)

\begin{align}

\bar{F}_{\alpha \beta} & = \frac{\partial \bar{A}_{\beta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \, - \, \frac{\partial \bar{A}_{\alpha}}{\partial \bar{x}^{\beta}} \\

& = \, \frac{\partial}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \left( \frac{\partial x^{\gamma}}{\partial \bar{x}^{\beta}} A_{\gamma} \right) \, - \,  \frac{\partial}{\partial \bar{x}^{\beta}} \left( \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} A_{\delta} \right) \\

& = \, \frac{\partial^2 x^{\gamma}}{\partial \bar{x}^{\alpha} \, \partial \bar{x}^{\beta}} A_{\gamma} \, + \, \frac{\partial x^{\gamma}}{\partial \bar{x}^{\beta}} \frac{\partial A_{\gamma}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \, - \, \frac{\partial^2 x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\beta} \, \partial \bar{x}^{\alpha}} A_{\delta} \, - \, \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \frac{\partial A_{\delta}}{\partial \bar{x}^{\beta}} \\

& = \, \frac{\partial x^{\gamma}}{\partial \bar{x}^{\beta}} \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \frac{\partial A_{\gamma}}{\partial x^{\delta}} \, - \, \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \frac{\partial x^{\gamma}}{\partial \bar{x}^{\beta}} \frac{\partial A_{\delta}}{\partial x^{\gamma}}  \\

& = \, \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \frac{\partial x^{\gamma}}{\partial \bar{x}^{\beta}} \, \left( \frac{\partial A_{\gamma}}{\partial x^{\delta}} \, - \, \frac{\partial A_{\delta}}{\partial x^{\gamma}} \right) \\

& = \, \frac{\partial x^{\delta}}{\partial \bar{x}^{\alpha}} \frac{\partial x^{\gamma}}{\partial \bar{x}^{\beta}} \, F_{\delta \gamma} \ .

\end{align}

Esta definição implica que o campo electromagnético satisfaz

\partial_\lambda F_{\mu \nu} + \partial _\mu F_{\nu \lambda} + \partial_\nu F_{\lambda \mu} = 0 \,

que incorpora a lei de indução de Faraday e lei de Gauss[4] para o magnetismo. Isto é demonstrado por

\partial_\lambda F_{\mu \nu} + \partial _\mu F_{\nu \lambda} + \partial_\nu F_{\lambda \mu} \,
= \, \partial_\lambda \partial_\mu A_\nu - \partial_\lambda \partial_\nu A_\mu + 

\partial_\mu \partial_\nu A_\lambda - \partial_\mu \partial_\lambda A_\nu + 

\partial_\nu \partial_\lambda A_\mu - \partial_\nu \partial_\mu A_\lambda \, = 0 \,.

Embora parece ter 64 equações em Faraday-Gauss, elas realmente reduzem-se a apenas quatro equações independentes [5] . Utilizando a antisimetria do campo electromagnético pode-se reduzir a uma identidade (0 = 0) ou tornar redundante todas as equações, com excepção para aqueles com λ, μ, ν = 1,2,3; ou 2,3,0; ou 3,0,1; ou 0,1,2.

A equação de Faraday-Gauss é por vezes escrita

F_{[\mu \nu ; \lambda]} \, = \, F_{[\mu \nu , \lambda]} \, = \, \frac{1}{6} \left( \partial_\lambda F_{\mu \nu} + \partial _\mu F_{\nu \lambda} + \partial_\nu F_{\lambda \mu} - \partial_\lambda F_{\nu \mu} - \partial _\mu F_{\lambda \nu} - \partial_\nu F_{\mu \lambda} \right) \,
= \, \frac{1}{3} \left( \partial_\lambda F_{\mu \nu} + \partial _\mu F_{\nu \lambda} + \partial_\nu F_{\lambda \mu} \right) = 0 \,

onde o ponto e vírgula indica uma derivada covariante, vírgula indica uma derivada parcial, e colchetes indicam anti-simetrização (Veja Gregorio Ricci-Curbastro)[6] . A derivada covariante do campo eletromagnético é

F_{\alpha \beta ; \gamma} \, = \, F_{\alpha \beta , \gamma} - {\Gamma^{\mu}}_{\alpha \gamma} F_{\mu \beta} - {\Gamma^{\mu}}_{\beta \gamma} F_{\alpha \mu} \,

onde Γαβ γ é o símbolo de Christoffel que é simétrico em seus índices mais baixos.


Referências

  1. G S Hall (Maio 1984). The significance of curvature in general relativity. Página visitada em 7 de feb. de 2013.
  2. Michael R.R. Good (May 21, 2006). Maxwell’s Equations in one unified expression.
  3. F. C. Santos, J. J. Passos Sobrinho, and A. C. Tort. Electromagnetic Field Correlators, Maxwell Stress Tensor,and the Casimir Effect for Parallel Walls. Brazilian Journal of Physics, vol. 35, no. 3A, September, 2005 657. Página visitada em 7 de Feb., 2013.
  4. Tai L. Chow. Introduction to Electromagnetic Theory: A Modern Perspective.
  5. E. R. Huggins. Maxwell's Equations. Página visitada em 13 de fev. de 2013.
  6. John M. Lee. A Mathematica package for doing tensor calculations in differential. 1992. Página visitada em 18/02/2013.

Notas

  1. Coordenadas locais são índices de medição em um sistema de coordenadas locais ou um espaço de coordenadas locais.
Ícone de esboço Este artigo sobre física é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.