Saltar para o conteúdo

Teorema de Dixmier-Ng

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Em análise funcional, o Teorema de Dixmier–Ng é uma caracterização de quando um espaço normado é de fato um espaço dual de Banach. Foi provado por Kung-Fu Ng, que o chamou de variante de um teorema provado anteriormente por Jacques Dixmier. [1] [2]

Seja um espaço normado. Os seguintes são equivalentes:

  1. Existe uma topologia localmente convexa de Hausdorff sobre de modo que a bola unitária fechada, , de é -compacta.
  2. Existe um espaço Banach tal que é isometricamente isomorfo ao dual de .

A afirmação 2 implica na 1 devido a aplicação do Teorema de Banach-Alaoglu, definindo para a topologia fraca-* . A afirmação 1 implica na 2 devido a aplicação do Teorema Bipolar.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço métrico com um ponto distinto denotado . O Teorema de Dixmier-Ng é aplicado para mostrar que o Espaço de Lipschitz de todas as funções de Lipschitz com valor de em que se anulam em (com a constante de Lipschitz como sendo a norma do espaço) é um espaço dual de Banach. [3]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Ng, Kung-fu (1971), «On a theorem of Dixmier», Mathematica Scandinavica, 29: 279–280, doi:10.7146/math.scand.a-11054 
  2. Dixmier, J. (1948), «Sur un théorème de Banach», Duke Mathematical Journal, 15 (4): 1057–1071, doi:10.1215/s0012-7094-48-01595-6 
  3. Godefroy, G.; Kalton, N. J. (2003), «Lipschitz-free Banach spaces», Studia Mathematica, 159 (1): 121–141, doi:10.4064/sm159-1-6