Teorema de Dixmier-Ng

Em análise funcional, o Teorema de Dixmier–Ng é uma caracterização de quando um espaço normado é de fato um espaço dual de Banach. Foi provado por Kung-Fu Ng, que o chamou de variante de um teorema provado anteriormente por Jacques Dixmier.

Seja $X$ um espaço normado. Os seguintes são equivalentes:

1. Existe uma topologia localmente convexa de Hausdorff $\tau$ sobre $X$ de modo que a bola unitária fechada, $\mathbf {B} _{X}$, de $X$ é $\tau$ -compacta.
2. Existe um espaço Banach $Y$ tal que $X$ é isometricamente isomorfo ao dual de $Y$.

A afirmação 2 implica na 1 devido a aplicação do Teorema de Banach-Alaoglu, definindo $\tau$ para a topologia fraca-* . A afirmação 1 implica na 2 devido a aplicação do Teorema Bipolar.

Aplicações

Seja $M$ um espaço métrico com um ponto distinto denotado $0_{M}$. O Teorema de Dixmier-Ng é aplicado para mostrar que o Espaço de Lipschitz ${\text{Lip}}_{0}(M)$ de todas as funções de Lipschitz com valor de $M$ em $\mathbb {R}$ que se anulam em $0_{M}$ (com a constante de Lipschitz como sendo a norma do espaço) é um espaço dual de Banach.