Teste M de Weierstrass

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Em matemática, no estudo das séries de funções, o teste M de Weierstrass é uma extensão do teste da comparação que aplica à estabelecer a convergência uniforme destas séries, ao compará-las com séries numéricas.

O teste M de Weierstrass se aplica originalmente às séries de funções reais ou complexas, mas pode se aplicar a qualquer a séries de funções cuja imagem são pontos de um espaço de Banach.

Notação e enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja uma seqüência de funções reais ou complexas definidas em um conjunto , uma seqüência de reais não-negativos, tais que:

  • para todo e todo .

Então:

converge uniformemente em

Demonstração[editar | editar código-fonte]

O teste da comparação garante que a série numérica:

converge para cada

Seja o limite pontual de Para mostrar que a convergência é uniforme, fixe um , da convegência da série formada pelos , temos que existe um tal que:

Então estimamos pelo teste da comparação, mais uma vez.

E o resultado segue, pois não foi escolhido com base em .

Generalização[editar | editar código-fonte]

A versão mais geral envolvendo funções cuja imagem está num espaço de Banach é análoga substituindo módulos por normas.

  • .

Ver também[editar | editar código-fonte]