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Transformada Z

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A Transformada Z é um método operacional útil no tratamento de sistemas (de tempo) discretos. É também de grande importância na análise de sinais digitais e no projeto de sistemas de controle digital. Sabe-se que a transformada de Laplace (1749-1827) tem sido usada desde longa data na solução de equações diferenciais contínuas e invariantes no tempo.

História da transformada Z

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Em engenharia, a ideia por trás do nome “Transformada” consiste, basicamente, em uma operação matemática que tem por finalidade promove algum tipo de simplificação. Dessa forma, o logaritmo consiste, provavelmente, na ferramenta mais antiga de que se tem notı́cia cujo conceito se aproxima da ideia de transformada, uma vez que transforma multiplicações e divisões em somas e subtrações, além de ser útil na resolução de equações cujos expoentes são desconhecidos (Boyer, 1974).[1] Em verdade, o conceito das transformadas vai muito além dos logaritmos no contexto da engenharia, em que desempenham papel importante. Entre as mais conhecidas (e com certeza mais utilizadas) figura a Transformada Z.

Entretanto, métodos para o tratamento de problemas de tempo discreto são relativamente recentes. Um método para a resolução de equações de diferenças lineares e invariantes no tempo foi apresentado por Gardner e Barnes aos seus alunos de engenharia no início da década de 1940.[2] Eles aplicaram tal procedimento, que era baseado principalmente em jump functions (funções usadas para representar uma sequência de dados amostrados), na resolução de linhas de transmissão e aplicações envolvendo funções de Bessel. Tal abordagem era bastante complexa, e, na tentativa de "dividir para simplificar", uma transformação de um sinal amostrado foi proposta em 1947 por Witold Hurewicz (1904-1956).[3] Tal transformação era escrita como função da sequência amostrada f (no domı́nio do tempo) ao invés do número complexo z da notação moderna:[3]

Definição 1 (transformada z bilateral)

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Seja definida para . A Transformada Z bilateral da função é dada por:

Em 1952, cinco anos após a tentativa de Hurewicz, a transformação foi batizada de Transformada Z pelo Sampled-data control group, liderada por John Ralph Raggazini (1912-1988), com Eliahu Ibrahim Jury (que, na época, era aluno de doutorado de Raggazini, mas que acabou sendo um dos principais desenvolvedores da teoria), Lotfi Zadeh (famoso pela criação da lógica Fuzzy) e colaboradores da Columbia University, com o artigo “The Analysis of sampled-Data Systems” (1952),[4] considerado um dos pioneiros trabalhos sobre a transformada Z. Ao que tudo indica, o termo “Z" foi provavelmente utilizado porque ser relativamente incomum contexto da Engenharia Elétrica (na década de 1950), ainda que remonte ao nome do próprio Zadeh.

Transformada Z Inversa

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onde é qualquer curva fechada contendo a origem de forma que a integral indicada converge.

Região de convergência da tranformada Z

Região de convergência (RDC)

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A região de convergência é a parte do plano complexo onde a Transformada converge:

No caso em que , para , a série converge para valores de em módulo, maiores que o raio de convergência :

Portanto, a série converge absolutamente para todos os pontos do plano que se encontram fora do círculo de raio , centrado na origem. Esta região é denominada região de convergência (RDC ou ROC, da sigla em inglês Region of Convergence).

Propriedades da Transformada Z bilateral

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Se um par de sinais quaisquer formam o par de transformadas z bilaterais:

então as seguintes propriedades são conservadas pela Transformada Z.

Teorema do valor inicial

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Teorema do valor final

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Deslocamento temporal

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Se é um sinal discreto, então

Definindo

Mudança de Escala

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Derivada da Transformada Z

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Transformadas das sucessões de senos e co-senos

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Consideremos uma função discreta

onde e são constantes reais. Usando o resultado da (Equação), o qual é também válido para números reais já que a série geométrica também converge no plano complexo, obtemos

multiplicando o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador, podemos separar as partes real e imaginária

Por outro lado, se usarmos a representação polar do número complexo e a linearidade da transformada Z, podemos escrever

onde e são o módulo e ângulo polar do número complexo. Comparando as partes reais e imaginárias das duas últimas equações, obtemos as transformadas de duas sucessões com senos e co-senos

onde as constantes e são definidas por

Multiplicação por exponencial

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A multiplicação da sequência por uma sequência exponencial da forma corresponde a uma dilatação no domínio de :

Reversão temporal

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Convolução em Tempo Discreto

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Transformada da Derivada

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Significado Físico da transformada Z

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Seja

Função de Transferência

Assim, a função transferência significa o sinal de entrada atrasado por um período de amostragem, como mostra a figura ao lado

Relação com a Transformada de Laplace

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A Transformada Z é, para sinais em tempo discreto, o mesmo que a Transformada de Laplace é, para sinais contínuos.
Seja um sinal, amostrado da forma:

onde é o tempo de amostragem. A Transformada de Laplace do sinal é:

Obtemos assim a definição de Transformada Z como a Transformada de Laplace com a mudança de variável .[5]

Definição (transformada z unilateral)

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Seja definida para . A Transformada Z uniateral da função é dada por:

Propriedades da Transformada Z unilateral

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Se um par de funções quaisquer formam o par de transformadas z unilaterais:

então, as propriedades anteriores da transformada bilateral são satisfeitas, exceto a que segue:

Deslocamento temporal

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Aplicações da Transformada Z

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Resolução de equações de diferenças lineares não homogêneas

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A propriedade de deslocamento no tempo (atraso ou avanço) da transformada z unilateral é empregada para resolução de equações de diferenças lineares com coeficientes constantes. Converte-se equações de diferenças em equações algébricas e encontram-se as soluções no domínio-z. A transformada inversa determina a solução no domínio do tempo.

Usando a expressão que obtivemos para a transformada de , podemos escrever

vemos que

Assim, a transformada da equação de diferenças será

e daí obtemos

O cálculo da transformada inversa é feito em forma análoga as transformadas inversas de Laplace, usando expansão em frações parciais, mas deixando de fora um fator no numerador, que será necessário manter em todas as frações parciais.[6]

Consequentemente, as frações que deverão ser expandidas são:

multiplicando cada fração parcial pelo fator que deixamos de fora, obtemos o lado direito da (Equação)

assi,, encontramos a solução do problema de valores iniciais

Circuito elétrico

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Circuito escada simétrico de (k+1) malhas

Considerando um circuito elétrico de forma escada, conforme figura ao lado, constituído por (k+1) malhas fechadas.

Sendo todas as resistências iguais, , onde represente a tensão elétrica medida sobre a resistência e , a intensidade de corrente que passa nessa resistência.

Analisando a primeira malha, tem-se que:

, ou ainda,

Primeira malha do circuito

Da segunda malha segue:

, ou seja

Assim percebe-se que, não é preciso conhecer para obter , pois

k_ésima malha do circuito

Tem-se ainda, uma série:

, que é uma equação de diferenças de segunda ordem, cuja solução da o valor de para qualquer elemento do circuito.

Aplicando a Transformada , obtém-se:

ou seja,

Assim,

Consequentemente,

Aplicando a Transformada inversa

Sendo a solução desta equação de diferenças dada por

Tabela de Transformadas Z selecionadas

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A tabela a seguir provê as transformadas Z para as funções mais comuns de uma variável.[7] Para definições e exemplos, veja a nota explicatória no fim da tabela.

Função
impulso unitário
impulso atrasado
degrau unitário
rampa


rampa quadrática


rampa cúbica


exponencial


exponencial atrasada


rampa exponencial


rampa quadrática exponencial


rampa quadrática exponencial


Seno exponencial
Cosseno exponencial (I)
Cosseno exponencial (II)


Cosseno exponencial (III)


Cosseno exponencial (IV)





Nota explicatória:

Referências

  1. Boyer, C. B. (1974). História da Matemática. São Paulo: Edgar Blucher. ISBN 8521206410 
  2. Strum, R. S.; Kirk, D. E. (1994). Contemporary Linear Systems using MATLAB. [S.l.]: PWS publishing company. ISBN 0534371728 
  3. a b Kuperberg, K., ed. (1996). «Collected works of Witold Hurewicz». Am. Math. Soc. v. 4 
  4. Ragazzini, J. R.; Zadeh, L. A. (1952). «The analysis of sampled-data systems». AIEE Trans. v. 7: p. 225-234. Consultado em 22 de maio de 2022 
  5. Jury, Eliahu Ibrahim (1964). Theory and Application of the z-Transform Method. [S.l.]: John Wiley & Sons. 
  6. Villate, Jaime E. (2011). Equações Diferenciais e Equações de Diferenças (PDF). Porto: [s.n.] 120 páginas. Consultado em 22 de julho de 2013 
  7. P. Lathi, Bhagawandas (1998). Signal Processing and Linear Systems (em inglês) primeira ed. Carmichael: Berkeley-Cambridge Press. 674 páginas. ISBN 0-941413-35-7 
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