Triângulo retângulo

ΔABC é um triângulo retângulo, pois BĈA = 90°

Triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo que possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos, para tanto basta que tenha um ângulo reto (90°), pois a soma dos três ângulos internos é igual a um ângulo raso (180°). É uma figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico. Em um triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. A área de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos menores lados. A relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.

Elementos do triângulo retângulo

Elementos de um triângulo retângulo. Os pontos A, B e C, os lados opostos a (hipotenusa), b e c (catetos) e as projeções de b e c, m e n.

Um triângulo retângulo é composto por quatro principais elementos:

• Catetos
• Hipotenusa
• altura relativa à hipotenusa
• projeções dos catetos.

Catetos

Os catetos são os menores lados do triângulo retângulo. Eles formam o ângulo de 1111190°.

Altura relativa à hipotenusa

A altura relativa à hipotenusa é a distância entre a hipotenusa e o vértice oposto.

Projeções dos catetos

A altura relativa à hipotenusa divide-a em duas partes, denominadas projeções dos catetos.

Relações métricas do triângulo retângulo

As relações métricas do triângulo retângulo são quatro. Os três triângulos formados são retângulos e semelhantes.

• A hipotenusa é igual à soma das projeções.

$a=m+n\,\!$

Por semelhança de triângulos, temos que:

• O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos.

${\frac {h}{m}}={\frac {n}{h}}\Rightarrow h^{2}=mn\,\!$

• O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a sua projeção(que se encontra do seu lado) e a hipotenusa.

${\frac {b}{a}}={\frac {m}{b}}\Rightarrow b^{2}=am\,\$

${\frac {c}{a}}={\frac {n}{c}}\Rightarrow c^{2}=an\,\$

• O produto entre a hipotenusa e a altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos.

${\frac {a}{c}}={\frac {b}{h}}\Rightarrow ah=bc\,\$

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras diz que:

“ A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. ”

ou, em linguagem matemática:

hipotenusa (AB)² = cateto (BC)² + cateto (CA)²

Relações trigonométricas do triângulo retângulo

Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo é através da medida de um ângulo e um lado, usando a Trigonometria. As principais relações trigonométricas são: Seno, Cosseno e Tangente. Há outras três: Cotangente, Secante e Cossecante.

Seno de um ângulo

É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem :

${\mbox{sen }}A={{\mbox{cateto oposto}} \over {\mbox{hipotenusa}}}$

Cosseno de um ângulo

Cosseno: É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem::

$\cos A={{\mbox{cateto adjacente}} \over {\mbox{hipotenusa}}}$

Tangente de um ângulo

É dado pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:

${\mbox{tg }}A={{\mbox{sen }}A \over \cos A}={{\mbox{cateto oposto}} \over {\mbox{cateto adjacente}}}$

Cotangente de um ângulo

É dado pela razão entre o Cosseno e o Seno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:

${\mbox{cotg }}A={\cos A \over {\mbox{sen }}A}={{\mbox{cateto adjacente}} \over {\mbox{cateto oposto}}}$

Secante de um ângulo

É dado pelo inverso do cosseno desse ângulo ou entre os lados que formam o próprio ângulo, dado na seguinte ordem:

$\sec A={1 \over \cos A}={{\mbox{hipotenusa}} \over {\mbox{cateto adjacente}}}$

Cossecante de um ângulo

É dado pelo inverso do seno desse ângulo ou entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado na seguinte ordem:

${\mbox{cossec }}A={1 \over {\mbox{sen }}A}={{\mbox{hipotenusa}} \over {\mbox{cateto oposto}}}$

Ângulos notáveis

Triângulos retângulos exatos

Se pode considerar um triângulo retângulo como a metade de um retângulo desde que partido pela sua diagonal.

São aqueles que todos os lados são diferentes dos que formam um terno pitagórico. hipotenusa, cateto, cateto.

Circunferência inscrita num triângulo retângulo

O diâmetro (d) de uma circunferência inscrita num triângulo rectângulo (a b c) é igual à soma dos catetos, menos a hipotenusa, representado pela seguinte fórmula:

$a+b=c+d$

• $a=$ cateto
• $b=$ cateto
• $c=$ hipotenusa
• $r=$ raio da circunferência inscrita
• $d=$ diâmetro da circunferência inscrita

$\left\{{\begin{matrix}a=x+r\Rightarrow x=a-r\,\left(I\right)\\b=y+r\Rightarrow y=b-r\,\left(II\right)\\c=x+y\,\left(III\right)\end{matrix}}\right.$

Substituindo I e II em III, teremos

$c=a-r+b-r\Rightarrow c=a+b-2r\Rightarrow c+2r=a+b$

Como:

$d=2r\Rightarrow c+d=a+b$ cqd

Ver também

• Triângulo
• Teorema de Pitágoras
• Trigonometria

Ligações externas

• Matemática Essencial: Trigonometria do Triângulo Retângulo