Usuário(a):SchöneNeueWelt/Sigma-aditividade

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Na Matemática, aditividade e σ-aditividade de uma função definida em subconjuntos de um dado conjunto são abstrações das propriedades intuitivas (comprimento, área, volume) de um conjunto.

Funções aditivas (ou finitamente aditivas)[editar | editar código-fonte]

Seja uma função definida em uma álgebra com valores entre [−∞, +∞]. A função é dita aditiva (ou finitamente aditiva) se, sempre que A e B são conjuntos disjuntos em , tem-se que

(Uma consequência disto é que uma função aditiva não pode assumir simultaneamente os valores −∞ e +∞, pois a expressão ∞ − ∞ é indefinida.)

É possível provar por indução matemática que uma função aditiva satisfaz

para quaisquer conjuntos disjuntos em .

Funções σ-aditivas[editar | editar código-fonte]

Suponha que é uma σ-álgebra. Se para qualquer sequência de conjuntos disjuntos dois a dois em , tem-se que

,

diz-se que μ é σ-aditiva.

Toda função σ-aditiva é aditiva, mas a recíproca nem sempre é verdadeira (como é mostrado a seguir).

Funções τ-aditivas[editar | editar código-fonte]

Suponha que além de uma σ-álgebra , tenha-se uma topologia τ. Se para qualquer família direcionada de conjuntos mensuráveis abertos ∩τ,

,

diz-se que μ [e τ-aditiva. Em particular, se μ é