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Velocidade própria

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Gráfico log-log de γ (azul), v/c (ciano) e η (amarelo) versus velocidade própria w/c (i.e. momento p/mc). Note-se que w/c é rastreado por v/c em baixas velocidades e por γ s velocidades. A curva vermelha tracejada é γ − 1 (energia cinética K/mc2), enquanto a curva magenta tracejada é o efeito Doppler relativístico.

Em relatividade, velocidade própria (também conhecida como celeridade) w de um objeto em relação a um observador é a razão entre o vetor deslocamento medida pelo observador e tempo próprio τ decorrido nos relógios do objeto viajante:

É uma alternativa à velocidade comum, a distância por unidade de tempo onde tanto a distância quanto o tempo são medidos pelo observador.

Os dois tipos de velocidade, normal e própria, são quase iguais em baixas velocidades. No entanto, em altas velocidades, a velocidade adequada retém muitas das propriedades que a velocidade perde na relatividade em comparação com teoria Newtoniana.

Por exemplo, a velocidade adequada é igual a momento por unidade de massa em qualquer velocidade e, portanto, não tem limite superior. Em altas velocidades, como mostrado na figura à direita, também é proporcional à energia de um objeto.

Velocidade própria w pode ser relacionado à velocidade ordinária v via o fator de Lorentz γ:

onde t é tempo de coordenada ou "mapa de tempo".

Para movimento unidirecional, cada um deles também está simplesmente relacionado ao ângulo de velocidade hiperbólica de um objeto em movimento ou rapidez η por

.

Em espaço-tempo plano, velocidade própria é a razão entre a distância percorrida em relação a um quadro de mapa de referência (usado para definir simultaneidade) e tempo próprio τ decorrido nos relógios do objeto viajante. É igual ao momento do objeto p dividido pela sua massa de repouso m, e é composto de componentes de velocidade quadrivetor semelhantes a espaço do objeto. A monografia de William Shurcliff[1] mencionou seu uso inicial no texto de Sears e Brehme.[2] Fraundorf tinha explorado seu uso pedagógico[3] enquanto Ungar,[4] Baylis[5] e Hestenes[6] examinaram sua relevância das perspectivas da teoria dos grupos e da álgebra geométrica. A velocidade adequada às vezes é chamada de celeridade.[7]

Um cruzador sai do hiperespaço...

Ao contrário da mais familiar velocidade coordenada v, velocidade própria é livre de sincronia[1] (não requer relógios sincronizados) e é útil para descrever movimentos superrelativísticos e sub-relativísticos. Assim como a velocidade coordenada e diferentemente da velocidade de quatro vetores, ela reside na fatia tridimensional do espaço-tempo definida pelo quadro do mapa. Conforme mostrado abaixo e na figura de exemplo à direita, as velocidades próprias até somam três vetores com o redimensionamento do componente fora do quadro. Isso os torna mais úteis para aplicativos baseados em mapas (e.g. engenharia) e menos úteis para obter informações sem coordenadas. Velocidade própria dividida pela velocidade da luz c é o seno hiperbólico da rapidez η, assim como o fator de Lorentz γ é o cosseno hiperbólico da rapidez e a velocidade coordenada v sobre a velocidade da luz é a tangente hiperbólica da rapidez.

Imagine um objeto viajando por uma região do espaço-tempo descrita localmente por equação métrica de espaço plano de Hermann Minkowski (cdτ)2 = (cdt)2 − (dx)2. Aqui, um quadro de mapa de referência de parâmetros e relógios sincronizados define a posição do mapa x e mapa do tempo t respectivamente, e o d precedendo uma coordenada significa mudança infinitesimal. Um pouco de manipulação permite mostrar que a velocidade própria w = dx/dτ = γv onde, como de costume, a velocidade coordenada v = dx/dt. Assim, w finito garante que v é menor que a velocidade da luz c. Pelo agrupamento de γ com v na expressão para momento relativístico p, a velocidade própria também se estende a forma Newtoniana de momento como massa vezes velocidade para altas velocidades sem a necessidade de massa relativística.[8]

Fórmula de adição de velocidade própria

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A fórmula de adição de velocidade própria:[9][10][4]

onde é o fator beta dado por .

Esta fórmula fornece um modelo de espaço girovetorial de velocidade própria de geometria hiperbólica que usa um espaço inteiro em comparação com outros modelos de geometria hiperbólica que usam discos ou semiplanos.

No caso unidirecional isso se torna comutativo e simplifica para um produto de fator de Lorentz vezes uma soma de velocidade coordenada, e.g. para wAC = γABγBC(vAB + vBC), conforme discutido na seção de aplicações abaixo.

Relação com outros parâmetros de velocidade

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Tabela de velocidade

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A tabela abaixo ilustra como a velocidade adequada de w = c ou "um mapa-ano-luz por viajante-ano" é uma referência natural para a transição do movimento sub-relativístico para o super-relativístico.

Comparação de valores de referência, vários próximos da mudança de inclinação relativística em EC vs. momento.
Condição/Parâmetro Velocidade coordenada v
dx/dt em unidades de c
Velocidade angular η
em i-radianos
Velocidade própria w
dx/ em unidades de c
Fator de Lorentz γ
dt/ = E/mc2
Viajante parado no quadro de mapa ⇔
1 mapa-ano/viajante-ano
0 0 0 1
Momento = 12mc
0.5 mapa-ano-luz/viajante-ano
1/5 ≅ 0.447 ln[(1 + 5)/2] ≅ 0.481 12 5/2 ≅ 1.118
Rapidez de 0.5 radiano hiperbólico (e − 1)/(e + 1) ≅ 0.462 12 12(e − 1/e) ≅ 0.521 12(e + 1/e) ≅ 1.128
Velocidade coordenada = 12c
0.5 mapa-ano-luz/mapa-ano
12 12ln[3] ≅ 0.549 1/3 ≅ 0.577 2/3 ≅ 1.155
Momento = mc ⇔
1 mapa-ano-luz/viajante-ano
1/2 ≅ 0.707 ln[1 + 2] ≅ 0.881 1 2 ≅ 1.414
Rapidez de 1 radiano hiperbólico (e2 − 1)/(e2 + 1) ≅ 0.761 1 12(e − 1/e) ≅ 1.175 12(e + 1/e) ≅ 1.543
Energia cinética = mc2
2 mapas-anos/viajante-ano
3/2 ≅ 0.866 ln[3 + 2] ≅ 1.317 3 ≅ 1.732 2
Momento = 2mc ⇔
2 mapas-anos-luz/viajante-ano
2/5 ≅ 0.894 ln[2 + 5] ≅ 1.444 2 5 ≅ 2.236
Rapidez de 2 radianos hiperbólicos (e4−1)/(e4+1) ≅ 0.964 2 12(e2 − 1/e2) ≅ 3.627 12(e2 + 1/e2) ≅ 3.762
Velocidade coordenada = c ⇔
1 mapa-ano-luz/mapa-ano
1

Observe-se acima que a velocidade angular η e velocidade própria w varia de 0 ao infinito e seguem a velocidade coordenada quando w << c. Por outro lado, quando w >> c, velocidade própria segue o fator de Lorentz enquanto a velocidade angular é logarítmica e, portanto, aumenta muito mais lentamente.

Equações de interconversão

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As equações a seguir convertem entre quatro medidas alternativas de velocidade (ou velocidade unidirecional) que fluem da equação métrica do espaço plano de Minkowski:

.

Fator de Lorentz γ: energia sobre mc2 ≥ 1

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Velocidade própria w: momento por unidade de massa

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Velocidade coordenada: v ≤ c

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Velocidade angular hiperbólica ou rapidez

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ou em termos de logaritmos:

.

Comparando velocidades em alta velocidade

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Adição de velocidade unidirecional: a soma adequada se curva para cima.

A velocidade própria é útil para comparar a velocidade dos objetos com o momento por unidade de massa em repouso (w) maior que a velocidade da luz c. A velocidade coordenada de tais objetos é geralmente próxima da velocidade da luz, enquanto a velocidade adequada indica a rapidez com que eles estão avançando nos relógios dos objetos viajantes. Isto é importante, por exemplo, se, como algumas partículas de raios cósmicos, os objetos que viajam têm uma vida útil finita. A velocidade própria também nos dá uma pista sobre o momento do objeto, que não tem limite superior.

Por exemplo, um elétron acelerado a 45 GeV pelo Grande Colisor de Elétrons e Pósitrons (LEP, de Large Electron–Positron Collider) no CERN em 1989 teria um fator de Lorentz γ de cerca de 88.000 (45 GeV dividido pela massa de repouso do elétron de 511 keV). Sua velocidade coordenada v teria sido cerca de próximo a sessenta e quatro trilionésimos da velocidade da luz c a 1 segundo-luz por segundo do mapa. Por outro lado, sua velocidade própria teria sido w = γv ~ 88.000 segundos-luz por segundo do viajante. Em comparação, a velocidade coordenada de um elétron de 250 GeV no proposto Colisor Linear Internacional (ILC de International Linear Collider)[11] (ILC) permanecerá próximo de c, enquanto sua velocidade adequada aumentará significativamente para ~489.000 segundos-luz por segundo do viajante.

A velocidade adequada também é útil para comparar velocidades relativas ao longo de uma linha em alta velocidade. Nesse caso

onde A, B e C referir-se a diferentes objetos ou quadros de referência.[12] Por exemplo, wAC refere-se à velocidade própria do objeto A em relação ao objeto C. Assim, no cálculo da velocidade relativa adequada, os fatores de Lorentz se multiplicam quando as velocidades coordenadas são somadas.

Portanto, cada um dos dois elétrons (A e C) em uma colisão frontal a 45 GeV no quadro do laboratório (B) veria o outro vindo em direção a ele a vAC ~ c e wAC = 88.0002(1 + 1) ~ 1.55×1010 segundos-luz por segundo do viajante. Assim, do ponto de vista do alvo, os colisores podem explorar colisões com energia de projétil e momento por unidade de massa muito maiores.

Relações de dispersão baseadas em velocidade própria

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Gráficos de (γ − 1)c2 × mass, versus velocidade própria × massa, para uma faixa de valores de massa ao longo de ambos os eixos.

Graficando "(γ − 1) versus velocidade própria" após multiplicar o anterior por mc2 e o posterior por massa m, para vários valores de m produz uma família de curvas de energia cinética versus momento que inclui a maioria dos objetos em movimento encontrados na vida cotidiana. Tais gráficos podem, por exemplo, ser usados ​​para mostrar onde a velocidade da luz, constante de Planck e energia de Boltzmann kT figuram.

Para ilustrar, a figura à direita com eixos log-log mostra objetos com a mesma energia cinética (relacionada horizontalmente) que carregam diferentes quantidades de momento, bem como como a velocidade de um objeto de baixa massa se compara (por extrapolação vertical) à velocidade após colisão perfeitamente inelástica com um objeto grande em repouso. Linhas altamente inclinadas (ascensão/curso = 2) marcam contornos de massa constante, enquanto linhas de inclinação unitária marcam contornos de velocidade constante.

Os objetos que se encaixam perfeitamente neste gráfico são humanos dirigindo carros, partículas de poeira em movimento browniano, uma nave espacial em órbita ao redor do Sol, moléculas em temperatura ambiente, um caça a jato em Mach 3, um fóton de onda de rádio, uma pessoa se movendo a um ano-luz por ano de viajante, o pulso de um [[laser] de 1,8 MegaJoule, um elétron de 250 GeV e nosso universo observável com a energia cinética do corpo negro esperada de uma única partícula a 3 Kelvin.

Aceleração unidirecional via velocidade própria

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Aceleração própria em qualquer velocidade é a aceleração física experimentada localmente por um objeto. No espaço-tempo, é uma aceleração trivetorial em relação ao referencial de flutuação livre que varia instantaneamente do objeto.[13] Sua magnitude α é a magnitude do quadro invariante de quadriaceleração do objeto. Aceleração própria é também é útil do ponto de vista (ou fatia do espaço-tempo) de observadores externos. Não só os observadores em todos os enquadramentos podem concordar com a sua magnitude, mas também mede até que ponto um foguete está em aceleração.

No caso unidirecional, i.e. quando a aceleração do objeto é paralela ou antiparalela à sua velocidade na fatia do espaço-tempo do observador, a mudança na velocidade adequada é a integral da aceleração adequada ao longo do tempo do mapa i.e. Δw = αΔt para a constante α. Em baixas velocidades, isso se reduz à relação bem conhecida entre a velocidade coordenada e a coordenada aceleração vezes o tempo do mapa, i.e. Δv = aΔt. Para aceleração adequada unidirecional constante, existem relações semelhantes entre rapidez η e decorrido o tempo próprio Δτ, bem como entre o fator de Lorentz γ e distância percorrida Δx. Para ser específico:

,

onde, como observado acima, os vários parâmetros de velocidade estão relacionados por

.

Estas equações descrevem algumas consequências da viagem acelerada em alta velocidade. Por exemplo, imagine uma nave espacial que possa acelerar seus passageiros a 1 g (ou 1,03 anos-luz/ano2) a meio caminho de seu destino e, em seguida, desacelerá-los em 1 g para a metade restante, de modo a fornecer gravidade artificial semelhante à da Terra a partir do ponto A ao ponto B no menor tempo possível. Para uma distância no mapa de ΔxAB, a primeira equação acima prevê um fator de Lorentz de ponto médio (acima do seu valor unitário de repouso) de γmid=1+α(ΔxAB/2)/c2. Portanto, o tempo de ida e volta nos relógios viajantes será Δτ = 4(c/α)cosh−1mid], durante o qual o tempo decorrido nos relógios dos mapas será Δt = 4(c/α)sinh[cosh−1mid]].

Gráfico de parâmetros de velocidade e tempos no eixo horizontal, versus posição no eixo vertical, para uma viagem de ida e volta acelerada com dois passageiros para um destino com ΔxAB=10c2/α ~10 anos-luz de distância se α~9,8 m/s2.

Esta nave espacial imaginada poderia oferecer viagens de ida e volta a Proxima Centauri durando cerca de 7,1 anos do viajante (~12 anos nos relógios da Terra), viagens de ida e volta para o buraco negro central da Via Láctea de aproximadamente 40 anos (~54.000 anos decorridos nos relógios da Terra) e viagens de ida e volta a galáxia de Andrômeda com duração de cerca de 57 anos (mais de 5 milhões de anos nos relógios da Terra). Infelizmente, embora as acelerações dos foguetes de 1 g podem ser facilmente alcançados, mas não podem ser sustentados por longos períodos de tempo.[14]

Referências

  1. a b William Shurcliff (1996) Special relativity: the central ideas (19 Appleton St, Cambridge MA 02138)
  2. Francis W. Sears & Robert W. Brehme (1968) Introduction to the theory of relativity (Addison-Wesley, NY) LCCN 680019344, section 7–3
  3. Fraundorf, P. (1996). «A one-map two-clock approach to teaching relativity in introductory physics». arXiv:physics/9611011Acessível livremente 
  4. a b Ungar, Abraham A. (2006). «The Relativistic Proper-Velocity Transformation Group». Progress in Electromagnetics Research. 60: 85–94. doi:10.2528/PIER05121501Acessível livremente 
  5. W. E. Baylis (1996) Clifford (geometric) algebras with applications to physics (Springer, NY) ISBN 0-8176-3868-7
  6. D. Hestenes (2003) "Spacetime physics with geometric algebra", Am. J. Phys. 71, 691–714
  7. Bernard Jancewicz (1988) Multivectors and Clifford algebra in electrodynamics (World Scientific, NY) ISBN 9971-5-0290-9
  8. Oas, Gary (2005). «On the Use of Relativistic Mass in Various Published Works». arXiv:physics/0504111Acessível livremente 
  9. Ungar, Abraham A. (1997). «Thomas precession: Its underlying gyrogroup axioms and their use in hyperbolic geometry and relativistic physics». Foundations of Physics. 27 (6): 881–951. Bibcode:1997FoPh...27..881U. doi:10.1007/BF02550347 
  10. Analytic hyperbolic geometry and Albert Einstein's special theory of relativity, Abraham A. Ungar, World Scientific, 2008, ISBN 978-981-277-229-9
  11. B. Barish, N. Walker and H. Yamamoto, "Building the next generation collider" Scientific American (Feb 2008) 54–59
  12. Esta regra de adição de velocidade é facilmente derivada das rapidezes α e β, uma vez que sinh(α + β) = cosh α cosh β (tanh α + tanh β).
  13. Edwin F. Taylor & John Archibald Wheeler (1966 1st ed. only) Spacetime Physics (W.H. Freeman, San Francisco) ISBN 0-7167-0336-X, Chapter 1 Exercise 51 page 97–98: "Clock paradox III"
  14. Calle, Carlos I. (2009). Superstrings and Other Things: A Guide to Physics 2nd revised ed. [S.l.]: CRC Press. 365 páginas. ISBN 978-1-4398-1074-3  Extrato da página 365