Triangulação (topologia)

Na matemática, topologia generaliza a noção de triangulação de uma forma natural, como segue:

A triangulação de um espaço topológico $X$ é o complexo simplicial K, homeomorfo a X, juntamente com o homeomorfismo h: K$\to$ X.

A triangulação é útil para determinar as propriedades de um espaço topológico. Por exemplo, pode-se calcular os grupos de homologia e cohomologia de um espaço triangular usando as teorias de homologia e cohomologia simplicial em vez das teorias de homologia e cohomologia mais complicadas.

Estruturas lineares por partes

Para variedades topológicas, há uma noção ligeiramente mais forte de triangulação: a triangulação linear por partes (as vezes chamada apenas de triangulação) é a triangulação com a propriedade extra de que o link de qualquer simplex é uma esfera linear por partes. O link de um simplex s em um complexo simplicial K é um subcomplexo de K consistindo dos simplexos t que são disjuntos de s e tais que ambos s e t são faces de algum simplexo hiper-dimensional em K. Por exemplo, em uma variedade bi-dimensional linear por partes formada por um conjunto de vértices, arestas e triângulos, o link do vértice s consiste do cíclico de vértices e arestas que cercam s: se t é um vértice neste ciclo, assim como s, então ambos são pontos extremos de uma aresta de K, e se t é uma aresta deste ciclo, assim como s então são ambos faces de um triângulo de K. Este ciclo é homeomorfo a um círculo, que é uma esfera 1-dimensional.

Para variedades de dimensão no máximo 4, esta propriedade extra detém automaticamente: em qualquer complexo simplicial homeomorfo a uma variedade, o link de qualquer simplexo só pode ser homeomorfo a uma esfera. Mas na dimensão n ≥ 5 o (n − 3)-dobra a suspensão da esfera de Poincaré é uma variedade topológica (homeomorfa a uma n-esfera) com a triangulação que não é linear seccionalmente: ele tem um simplexo cujo link é a esfera de Poincaré, uma variedade 3-dimensional que não é homeomorfa a uma esfera.

Método explícito de triangulação

Um caso espacial importante de triangulação topológica é das superfícies 2-dimensionais, ou 2-variedade fechada. Existe uma prova padrão de que as superfícies fechadas suaves podem ser triangularizadas (veja Jost 1997). De fato, se a superfície possui uma métrica Riemanniana, cada ponto x está contido dentro de um pequeno triângulo geodésico convexo, que é um triângulo inscrito em uma bola normal de centro x. O interiores de um número finito de triângulos cobre a superfície, uma vez que as extremidades dos diferentes triângulos ou coincida ou se intersectam transversalmente, este conjunto finito de triângulos pode ser utilizado de forma iterativa para construir uma triangulação.

Outro procedimento simples para a triangulação de variedades diferenciáveis ​​foi dada por Hassler Whitney, em 1957, baseado em seu teorema da imersão. Na verdade, se X é uma n - subvariedade fechada de $R^{m}$, devemos subdividir uma rede cúbica de $R^{m}$ em simplexos para dar uma triangulação de $R^{m}$. Ao tomar as malha da malha suficientemente pequeno e pouco movimento finitamente muitos dos vértices, da triangulação estarão em posição geral com respeito para X: assim os simplexos que não tem dimensão $<s=m-n$ cruzam X e cada um s-simplex interseção X.

• Faz isso em exatamente um ponto interior;
• Faz um ângulo estritamente positivo em relação ao plano tangente;
• Encontra-se totalmente dentro de algumas regiões tubulares de X.

Estes pontos de intersecção e seus baricentros (correspondente a simplexos dimensões superiores cruzam X) gerar um n subcomplexo simplicial-dimensional em $R^{m}$, incluso totalmente dentro da vizinhança tubular. A triangulação é dada pela projeção deste complexo simplicial sobre X.

Os grafos nas superfícies

A Triangulação Whitney ou triangulação limpa de uma superfície é um mergulho de um grafo na superfície de tal forma que as faces do mergulho são exatamente os cliques dos grafos (Hartsfeld and Gerhard Ringel 1981; Larrión et al. 2002; Malnič and Mohar 1992). Equivalentemente, toda face é um triângulo, todo triângulo é uma face, e o grafo não é por si só um clique. O clique complexo do grafo é homeomorfo a uma superfície. O 1-esqueleto da triangulação de Whitney são exatamente grafos cíclicos localmente exceto para $K^{4}$.

Referências

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• Milnor, John W. (2007), Collected Works Vol. III, Differential Topology, ISBN 0-8218-4230-7, American Mathematical Society 
• Whitney, H. (1957), Geometric integration theory, Princeton University Press, pp. 124–135 
• Dieudonné, J. (1989), A History of Algebraic and Differential Topology, 1900-1960, ISBN 0-8176-3388-X, Birkhäuser 
• Jost, J. (1997), Compact Riemann Surfaces, ISBN 3-540-53334-6, Springer-Verlag 
• Moise, E. (1977), Geometric Topology in Dimensions 2 and 3, ISBN 0-387-90220-1, Springer-Verlag 
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• Munkres, J. (1966), Elementary Differential Topology, revised edition, ISBN 0-691-09093-9, Annals of Mathematics Studies 54, Princeton University Press 
• Thurston, W. (1997), Three-Dimensional Geometry and Topology, Vol. I, ISBN 0-691-08304-5, Princeton University Press 
• Hartsfeld, N.; Ringel, G. (1991), «Clean triangulations», Combinatorica, 11 (2): 145–155, doi:10.1007/BF01206358 
• Larrión, F.; Neumann-Lara, V.; Pizaña, M. A. (2002), «Whitney triangulations, local girth and iterated clique graphs», Discrete Mathematics, 258: 123–135, doi:10.1016/S0012-365X(02)00266-2 
• Malnič, Aleksander; Mohar, Bojan (1992), «Generating locally cyclic triangulations of surfaces», Journal of Combinatorial Theory, Series B, 56 (2): 147–164, doi:10.1016/0095-8956(92)90015-P