Homologia (matemática)

Em matemática, e mais especificamente na topologia algébrica, homologia consiste na atribuição de uma sequência de grupos a um espaço topológico. Na linguagem da teoria das categorias, dizemos que uma teoria de homologia é um functor covariante da categoria dos espaços topológicos na categoria dos grupos abelianos graduados.

Já em álgebra comutativa, uma teoria de homologia é um functor covariante da categoria dos complexos de cadeia na categoria dos grupos abelianos graduados. A álgebra homológica trata do estudo de tais functores. Além disto, existe dentro da teoria de categorias uma área de pesquisa denominada álgebra homológica abstrata , que generaliza as ferramentas da álgebra homológica ao contexto das categorias abelianas. Tal formulação da homologia algébrica foi concebida por A. Grothendieck para estudar feixes sobre variedades algébricas .

Grupos de Homologia

Seja $\mathcal{C}$ um complexo de cadeias

$\ldots \to A_{n+1} \begin{matrix} d_{n+1} \\ \to \\ \, \end{matrix} A_n \begin{matrix} d_n \\ \to \\ \, \end{matrix} A_{n-1} \begin{matrix} d_{n-1} \\ \to \\ \, \end{matrix} A_{n-2} \to \ldots \to A_2 \begin{matrix} d_2 \\ \to \\ \, \end{matrix} A_1 \begin{matrix} d_1 \\ \to \\ \, \end{matrix} A_0 \begin{matrix} d_0 \\ \to \\ \, \end{matrix} 0.$

Definimos o n-ésimo grupo de homologia de $\mathcal{C}$ como $H_n(\mathcal{C})=Nuc(d_n)/Im(d_{n+1})\,$.

Já os grupos de homologia de um espaço topológico $X$ são definidos a partir de um complexo de cadeias determinado por X. As diversas maneiras de se associar um complexo de cadeias a um espaço topológico (ou por vezes, a um par de espaços topológicos), são chamadas de teorias de homologia. Algumas teorias de homologia para variedades diferenciáveis são: a homologia singular, a homologia de Čech, a homologia de Morse e a homologia de de Rham.