Homologia (matemática)

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Em matemática, e mais especificamente na topologia algébrica, homologia consiste na atribuição de uma sequência de grupos a um espaço topológico. Na linguagem da teoria das categorias, dizemos que uma teoria de homologia é um functor covariante da categoria dos espaços topológicos na categoria dos grupos abelianos graduados.

Já em álgebra comutativa, uma teoria de homologia é um functor covariante da categoria dos complexos de cadeia na categoria dos grupos abelianos graduados. A álgebra homológica trata do estudo de tais functores. Além disto, existe dentro da teoria de categorias uma área de pesquisa denominada álgebra homológica abstrata [1] , que generaliza as ferramentas da álgebra homológica ao contexto das categorias abelianas. Tal formulação da homologia algébrica foi concebida por A. Grothendieck para estudar feixes sobre variedades algébricas[2] .

Grupos de Homologia[editar | editar código-fonte]

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Seja \mathcal{C} um complexo de cadeias

\ldots \to 
A_{n+1} \begin{matrix}  d_{n+1} \\ \to  \\ \, \end{matrix}
A_n     \begin{matrix}  d_n     \\ \to  \\ \, \end{matrix}
A_{n-1} \begin{matrix}  d_{n-1} \\ \to  \\ \, \end{matrix}
A_{n-2} \to \ldots \to
A_2     \begin{matrix}  d_2     \\ \to \\  \, \end{matrix}
A_1 \begin{matrix}  d_1 \\ \to \\   \, \end{matrix}
A_0 \begin{matrix}  d_0 \\ \to \\  \, \end{matrix} 0.

Definimos o n-ésimo grupo de homologia de \mathcal{C} como  H_n(\mathcal{C})=Nuc(d_n)/Im(d_{n+1})\,.

Já os grupos de homologia de um espaço topológico X são definidos a partir de um complexo de cadeias determinado por X. As diversas maneiras de se associar um complexo de cadeias a um espaço topológico (ou por vezes, a um par de espaços topológicos), são chamadas de teorias de homologia. Algumas teorias de homologia para variedades diferenciáveis são: a homologia singular, a homologia de Čech, a homologia de Morse e a homologia de de Rham.

Referências

  1. M. Osborne - Basic Homological Algebra. Springer Verlag (2000).
  2. A. Grothendieck - Sur quelques points d'algèbre homologique, Tohoku Math. J., t. 9, p. 119- 183 (1957).

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Elon Lages Lima. Homologia Básica. col: Coleção Projeto Euclides, Rio de Janeiro, RJ: [s.n.], 2012. ISBN 9788524402869
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