Partição de um intervalo: diferenças entre revisões

← Ver a alteração anterior Ver a alteração posterior →

Conteúdo apagado Conteúdo adicionado

Em linha

Revisão das 15h21min de 8 de fevereiro de 2018

Em matemática, uma partição de um intervalo $[a,b]$ , geralmente denotada $P$ ou $\Pi$ , na reta real é uma sequência finita $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}$ de números reais tal que:

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{k}=b.$

Em outras palavras, uma partição de um intervalo compacto $I$ é uma sequência estritamente crescente de números (que pertence ela própria ao intervalo $I$ ) que começa no ponto inicial de $I$ e termina no ponto final de $I$ .

Todo intervalo da forma $[x_{i},x_{i+1}]$ é referido como um subintervalo de partição $x$ .

Estas partições são utilizadas na teoria da integral de Riemann e da integral de Riemann–Stieltjes.^[1]

Refinamento da partição

Outra partição do intervalo dado, $Q$ , é definida como um refinamento da partição, $P$ , quando contém todos os pontos de $P$ e possivelmente alguns outros pontos também. A partição de $Q$ é considerada "mais fina" que $P$ . Dadas duas partições, $P$ e $Q$ , pode-se sempre formar seu refinamento comum, denotado $P\lor Q$ , que consiste em todos os pontos de $P$ e $Q$ , renumerados em ordem.^[2]

Exemplos

Um exemplo de partição é o seguinte:

Dado o intervalo $[1,2]$ , uma partição de tal intervalo seria:

$\Pi =\{1,{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},2\}.$

Outra possível partição para o mesmo intervalo seria:

$\Pi '=\{1,{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},2\}$ , com $\Pi '$ mais "fina" que $\Pi$ .

Norma de uma partição

A norma de uma partição

$x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$

é o comprimento do mais longo deste subintervalos

$\max\{(x_{i}-x_{i-1}):i=1,\ldots ,n\}.$ ^[3]^[4]

Aplicações

Partições são usadas na teoria da integral de Riemann, da integral de Riemann–Stieltjes e da integral regulada. Especificamente, conforme partições mais finas de um intervalo são consideradas, sua norma se aproxima de zero e a soma de Riemann baseada em uma dada partição se aproxima da integral de Riemann.^[5]

Partições marcadas

Uma partição marcada é uma partição de um dado intervalo junto com uma sequência finita de números $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ sujeita às condições que, para cada $i$ ,

$x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}.$

Em outras palavras, uma partição marcada é uma partição junto com um ponto distinguido de cada subintervalo. Sua norma é definida da mesma forma que uma partição comum. É possível definir uma ordem parcial no conjunto de todas as partições marcadas ao dizer que uma partição marcada é maior que a outra se a maior for um refinamento da menor.^[6]

Suponha que $x_{0},\ldots ,x_{n}$ junto com $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ é uma partição marcada de $[a,b]$ e que $y_{0},\ldots ,y_{m}$ junto com $s_{0},\ldots ,s_{m-1}$ é outra partição marcada de $[a,b]$ . Dizemos que $y_{0},\ldots ,y_{m}$ e $s_{0},\ldots ,s_{m-1}$ juntos são um refinamento da partição marcada $x_{0},\ldots ,x_{n}$ junto com $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ se, para cada número inteiro $i$ com $0\leq 1\leq n$ , há um número inteiro $r(i)$ tal que $x_{i}=y_{r(i)}$ e tal que $t_{i}=s_{j}$ para algum $j$ com $r(i)\leq j\leq r(i+1)-1$ . Dito de forma mais simples, um refinamento de um partição marcada toma a partição inicial e adiciona mais marcas, mas não tira nenhuma.

Ver também

Referências

↑ Gordon, Russell (1994). The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0821838059. OCLC 30474120
↑ Brannan, David Alexander (17 de agosto de 2006). A First Course in Mathematical Analysis (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9781139458955
↑ O., Hijab, (2011). Introduction to calculus and classical analysis 3rd ed ed. New York: Springer. ISBN 9781441994882. OCLC 719363277 !CS1 manut: Texto extra (link)
↑ Antonovich, Vladimir (2004). Mathematical analysis. Berlin: Springer. ISBN 9783540406334. OCLC 52860218
↑ Ghorpade, Sudhir (2006). A course in calculus and real analysis. New York: Springer. ISBN 9780387364254. OCLC 209919082
↑ Dudley, Richard (2011). Concrete functional calculus. New York: Springer. ISBN 9781441969507. OCLC 695389112

[1] Gordon, Russell (1994). The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0821838059. OCLC 30474120

[2] Brannan, David Alexander (17 de agosto de 2006). A First Course in Mathematical Analysis (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9781139458955

[3] O., Hijab, (2011). Introduction to calculus and classical analysis 3rd ed ed. New York: Springer. ISBN 9781441994882. OCLC 719363277 !CS1 manut: Texto extra (link)

[4] Antonovich, Vladimir (2004). Mathematical analysis. Berlin: Springer. ISBN 9783540406334. OCLC 52860218

[5] Ghorpade, Sudhir (2006). A course in calculus and real analysis. New York: Springer. ISBN 9780387364254. OCLC 209919082

[6] Dudley, Richard (2011). Concrete functional calculus. New York: Springer. ISBN 9781441969507. OCLC 695389112

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Linha 1: / Linha 1: @@
+[[File:Integral Riemann sum.png|thumb|300px|Uma partição de um intervalo sendo usada em uma [[soma de Riemann]]. A partição propriamente dita é mostrada em cinza embaixo, com um subintervalo indicado em vermelho.]]
-Em [[matemática]], uma '''partição Π''' de um [[intervalo (matemática)|intervalo]] fechado [''a'', ''b''] nos [[números reais]] é uma [[Sequência matemática|sequência]] finita da forma: ''a'' = ''x''<sub>0</sub> < ''x''<sub>1</sub> < ''x''<sub>2</sub> <... < ''x''<sub>''n''</sub> = ''b''.
+Em [[matemática]], uma '''partição de um intervalo''' <math>[a,b]</math>, geralmente denotada <math>P</math> ou <math>\Pi</math>, na [[reta real]] é uma sequência finita <math>x_0,x_1,x_2,\ldots,x_k</math> de [[Número real|números reais]] tal que:<blockquote><math>a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_k=b.</math></blockquote>Em outras palavras, uma partição de um intervalo compacto <math>I</math> é uma sequência estritamente crescente de números (que pertence ela própria ao intervalo <math>I</math>) que começa no ponto inicial de <math>I</math> e termina no ponto final de <math>I</math>.
-Estas partições são utilizadas na teoria da [[integral de Riemann]] e da [[integral de Riemann-Stieltjes]].
+Todo intervalo da forma <math>[x_i,x_{i+1}]</math> é referido como um subintervalo de partição <math>x</math>.
-== Refinamento de uma partição ==
-Se diz que uma partição Π' é '''mais fina''' (ou '''refinada''') que uma partição Π quando Π é um [[subconjunto]] de Π', ou seja, quando a partição Π' tem os mesmos pontos que Π e possivelmente algum mais.
+Estas partições são utilizadas na teoria da [[integral de Riemann]] e da [[Integral de Riemann-Stieltjes|integral de Riemann–Stieltjes]].<ref>{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/30474120|título=The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock|ultimo=Gordon|primeiro=Russell|data=1994|editora=American Mathematical Society|ano=|local=Providence, R.I.|páginas=|isbn=0821838059|oclc=30474120|acessodata=}}</ref>
-== Exemplos ==
-Um exemplo de partição seria o seguinte:
+==Refinamento da partição==
-:Dado o intervalo [1, 2], uma partição de tal intervalo seria
+Outra partição do intervalo dado, <math>Q</math>, é definida como um refinamento da partição, <math>P</math>, quando contém todos os pontos de <math>P</math> e possivelmente alguns outros pontos também. A partição de <math>Q</math> é considerada "mais fina" que <math>P</math>. Dadas duas partições, <math>P</math> e <math>Q</math>, pode-se sempre formar seu refinamento comum, denotado <math>P\or Q</math>, que consiste em todos os pontos de <math>P</math> e <math>Q</math>, renumerados em ordem.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?id=N8bL9lQUGJgC&pg=PA262&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|título=A First Course in Mathematical Analysis|ultimo=Brannan|primeiro=David Alexander|data=2006-08-17|editora=Cambridge University Press|lingua=en|isbn=9781139458955}}</ref>
+==Exemplos==
-::Π = {<math>1, \frac{1}{3},\frac{1}{2}, 2</math>}.
+Um exemplo de partição é o seguinte:<blockquote>Dado o intervalo <math>[1,2]</math>, uma partição de tal intervalo seria:</blockquote><blockquote><math>\Pi=\{1,\frac{1}{3},\frac{1}{2},2\}.</math></blockquote><blockquote>Outra possível partição para o mesmo intervalo seria:</blockquote><blockquote><math>\Pi'=\{1,\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{3}{4},2\}</math>, com <math>\Pi'</math> mais "fina" que <math>\Pi</math>.</blockquote>
-:Outra possível partição para o mesmo intervalo seria
+==Norma de uma partição==
+A norma de uma partição<blockquote><math>x_0<x_1<x_2<\ldots<x_n</math></blockquote>é o comprimento do mais longo deste subintervalos<blockquote><math>\max\{(x_i-x_{i-1}):i=1,\ldots,n\}.</math><ref>{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/719363277|título=Introduction to calculus and classical analysis|ultimo=O.|primeiro=Hijab,|data=2011|editora=Springer|edicao=3rd ed|local=New York|isbn=9781441994882|oclc=719363277}}</ref><ref>{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/52860218|título=Mathematical analysis|ultimo=Antonovich|primeiro=Vladimir|data=2004|editora=Springer|ano=|local=Berlin|páginas=|isbn=9783540406334|oclc=52860218|acessodata=}}</ref></blockquote>
+==Aplicações==
-::Π' = {<math>1, \frac{1}{3},\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 2</math>}, com Π' mais ''fina'' que Π.
+Partições são usadas na teoria da integral de Riemann, da integral de Riemann–Stieltjes e da integral regulada. Especificamente, conforme partições mais finas de um intervalo são consideradas, sua norma se aproxima de zero e a soma de Riemann baseada em uma dada partição se aproxima da integral de Riemann.<ref>{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/209919082|título=A course in calculus and real analysis|ultimo=Ghorpade|primeiro=Sudhir|data=2006|editora=Springer|ano=|local=New York|páginas=|isbn=9780387364254|oclc=209919082|acessodata=}}</ref>
+==Partições marcadas==
-== Referências ==
+Uma partição marcada é uma partição de um dado intervalo junto com uma sequência finita de números <math>t_0,\ldots,t_{n-1}</math> sujeita às condições que, para cada <math>i</math>,<blockquote><math>x_i\leq t_i\leq x_{i+1}.</math></blockquote>Em outras palavras, uma partição marcada é uma partição junto com um ponto distinguido de cada subintervalo. Sua norma é definida da mesma forma que uma partição comum. É possível definir uma [[Conjunto parcialmente ordenado|ordem parcial]] no conjunto de todas as partições marcadas ao dizer que uma partição marcada é maior que a outra se a maior for um refinamento da menor.<ref>{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/695389112|título=Concrete functional calculus|ultimo=Dudley|primeiro=Richard|data=2011|editora=Springer|ano=|local=New York|páginas=|isbn=9781441969507|oclc=695389112|acessodata=}}</ref>
-* Gordon, Russell A. (1994). ''The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock''. Graduate Studies in Mathematics, 4. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3805-9.
+Suponha que <math>x_0,\ldots,x_n</math> junto com <math>t_0,\ldots,t_{n-1}</math> é uma partição marcada de <math>[a,b]</math> e que <math>y_0,\ldots,y_m</math> junto com <math>s_0,\ldots,s_{m-1}</math> é outra partição marcada de <math>[a,b]</math>. Dizemos que <math>y_0,\ldots,y_m</math> e <math>s_0,\ldots,s_{m-1}</math> juntos são um refinamento da partição marcada <math>x_0,\ldots,x_n</math> junto com <math>t_0,\ldots,t_{n-1}</math> se, para cada [[número inteiro]] <math>i</math> com <math>0\leq 1\leq n</math>, há um número inteiro <math>r(i)</math> tal que <math>x_i=y_{r(i)}</math> e tal que <math>t_i=s_j</math> para algum <math>j</math> com <math>r(i)\leq j\leq r(i+1)-1</math>. Dito de forma mais simples, um refinamento de um partição marcada toma a partição inicial e adiciona mais marcas, mas não tira nenhuma.
-== {{Ver também}} ==
+==Ver também==
 * [[Integral de Riemann]]
+* [[Integral de Riemann-Stieltjes]]
+* [[Partição de um conjunto]]
+==Referências==
-{{Portal3|Matemática}}
+{{Reflist}}
-{{DEFAULTSORT:Particao De Um Intervalo}}
 [[Categoria:Análise matemática]]
+[[Categoria:Cálculo]]
+[[Categoria:Cálculo integral]]