Cardinais regulares e singulares

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Em matemática, especialmente em teoria de conjuntos, um cardinal é denominado regular se ele é igual a sua própria cofinalidade. Caso contrário, é dito singular[1] .

Definições e exemplos[editar | editar código-fonte]

Se abreviarmos cofinalidade de x como \mbox{cf}(x), podemos generalizar a definição acima para ordinais dizendo que \alpha é regular se \mbox{cf}(\alpha) = \alpha e singular se \mbox{cf}(\alpha) < \alpha, pois \mbox{cf}(\alpha)\alpha vale para todo ordinal[2] . De maneira equivalente, podemos definir que um cardinal \kappa é singular se resulta da união de uma quantidade menor que \kappa de conjuntos cada um dos quais tem também cardinalidade menor que \kappa:

 \kappa = \bigcup_{\alpha<\beta} ( A_\alpha ) \mbox{ tais que } \beta < \kappa \mbox { e } \left| A_\alpha \right| < \kappa \mbox{ para cada } \alpha<\beta [3]

Por exemplo, \aleph_\omega é singular pois:

 \aleph_\omega = \bigcup_{n < \omega} \aleph_n = \aleph_0 \cup \aleph_1 \cup \dots \cup \aleph_n \cup \dots \;\; [4]

ou seja, \aleph_\omega é a união de \omega = \aleph_0 conjuntos, cada um dos quais tem cardinalidade menor que \aleph_\omega .

Por outro lado, \omega é regular, pois \mbox{cf}(\omega) = \omega[5] . Além disso, a união de uma quantidade finita de conjuntos finitos é um conjunto finito[6] .

Cardinais regulares e o axioma da escolha[editar | editar código-fonte]

Na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, denominada ZFC, pode ser demonstrado que a união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável[7] e portanto \aleph_1 é regular. Sem o axioma da escolha, \mbox{cf}(\aleph_1) = \omega[8] (que implica que \aleph_1 é singular) é consistente com ZF, se ZF é consistente.

Em ZFC é demonstrado que todo cardinal da forma \aleph_{\alpha+1} (denominado cardinal sucessor) é regular[9] . Um cardinal infinito que não é sucessor é denominado cardinal limite e em \aleph_\alpha temos que  \alpha = \mbox{0} ou  \alpha é um ordinal limite[10] . Em ZFC não pode ser demonstrada a existência de cardinais limites regulares diferentes de \omega[11] , se ZFC é consistente[12] .

Referências

  1. Levy [2002] , p. 132.
  2. Ibid.
  3. Jech [2006] , p. 32.
  4. Hrbacek Jech [1999] , p. 161.
  5. Kunen [1980] , p. 33.
  6. Hrbacek Jech [1999] , p. 72.
  7. Jech [1973] , p. 48−49.
  8. Kunen [1980] , p. 33.
  9. Levy [2002] , p. 135.
  10. Levy [2002] , p. 90.
  11. Denominados fracamente inacessíveis
  12. Kunen [1980] , p. 34.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Hrbacek, Karen; Jech, Thomas. Introduction to set theory (em inglês). 3a. ed. New York: Marcel Dekker, 1999.
  • Jech, Thomas. In: Barwise, Jon. Handbook of mathematical logic (em inglês). Amsterdam: Elsevier, 1999. Capítulo: About the Axiom of Choice. p. 345−370.
  • Jech, Thomas. Set theory (em inglês). 3a. ed. Berlin: Springer, 2006. ISBN 3-540-44085-2
  • Kunen, Kenneth. Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês). Amsterdam: Elsevier, 1980. ISBN 0-444-86839-9
  • Levy, Azriel. Basic set theory (em inglês). Mineola, New York: Dover, 2002.