Cardinais regulares e singulares

Em matemática, especialmente em teoria de conjuntos, um cardinal é denominado regular se ele é igual a sua própria cofinalidade. Caso contrário, é dito singular .

Definições e exemplos

Se abreviarmos cofinalidade de $x$ como $\mbox{cf}(x)$, podemos generalizar a definição acima para ordinais dizendo que $\alpha$ é regular se $\mbox{cf}(\alpha) = \alpha$ e singular se $\mbox{cf}(\alpha) < \alpha$, pois $\mbox{cf}(\alpha)$ ≤ $\alpha$ vale para todo ordinal . De maneira equivalente, podemos definir que um cardinal $\kappa$ é singular se resulta da união de uma quantidade menor que $\kappa$ de conjuntos cada um dos quais tem também cardinalidade menor que $\kappa$:

$\kappa = \bigcup_{\alpha<\beta} ( A_\alpha ) \mbox{ tais que } \beta < \kappa \mbox { e } \left| A_\alpha \right| < \kappa \mbox{ para cada } \alpha<\beta$

Por exemplo, $\aleph_\omega$ é singular pois:

$\aleph_\omega = \bigcup_{n < \omega} \aleph_n = \aleph_0 \cup \aleph_1 \cup \dots \cup \aleph_n \cup \dots \;\;$

ou seja, $\aleph_\omega$ é a união de $\omega = \aleph_0$ conjuntos, cada um dos quais tem cardinalidade menor que $\aleph_\omega$.

Por outro lado, $\omega$ é regular, pois $\mbox{cf}(\omega) = \omega$ . Além disso, a união de uma quantidade finita de conjuntos finitos é um conjunto finito .

Cardinais regulares e o axioma da escolha

Na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, denominada ZFC, pode ser demonstrado que a união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável e portanto $\aleph_1$ é regular. Sem o axioma da escolha, $\mbox{cf}(\aleph_1) = \omega$ (que implica que $\aleph_1$ é singular) é consistente com ZF, se ZF é consistente.

Em ZFC é demonstrado que todo cardinal da forma $\aleph_{\alpha+1}$ (denominado cardinal sucessor) é regular . Um cardinal infinito que não é sucessor é denominado cardinal limite e em $\aleph_\alpha$ temos que $\alpha = \mbox{0}$ ou $\alpha$ é um ordinal limite . Em ZFC não pode ser demonstrada a existência de cardinais limites regulares diferentes de $\omega$ , se ZFC é consistente .

Bibliografia

• Hrbacek, Karen; Jech, Thomas. Introduction to set theory (em inglês). 3a. ed. New York: Marcel Dekker, 1999.

• Jech, Thomas. In: Barwise, Jon. Handbook of mathematical logic (em inglês). Amsterdam: Elsevier, 1999. Capítulo: About the Axiom of Choice, p. 345−370.

• Jech, Thomas. Set theory (em inglês). 3a. ed. Berlin: Springer, 2006. ISBN 3-540-44085-2

• Kunen, Kenneth. Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês). Amsterdam: Elsevier, 1980. ISBN 0-444-86839-9

• Levy, Azriel. Basic set theory (em inglês). Mineola, New York: Dover, 2002.