Distância euclidiana

Em matemática, distância euclidiana (ou distância métrica) é a distância entre dois pontos, que pode ser provada pela aplicação repetida do teorema de Pitágoras. Aplicando essa fórmula como distância, o espaço euclidiano torna-se um espaço métrico.

Definição

A distância euclidiana entre os pontos $P=(p_1,p_2,\dots,p_n)\,$ e $Q=(q_1,q_2,\dots,q_n)\,$, num espaço euclidiano n-dimensional, é definida como:

$\sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2 + \cdots + (p_n-q_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (p_i-q_i)^2}.$

Distância unidimensional

Para pontos unidimensionais, $P=(p_x)\,$ e $Q=(q_x)\,$, a distância é computada como:

$\sqrt{(p_x-q_x)^2} = | p_x-q_x |.$

O valor absoluto é usado já que a distância é normalmente considerada um valor escalar sem sinal.

Distância bidimensional

Para pontos bidimensionais, $P=(p_x,p_y)\,$ e $Q=(q_x,q_y)\,$, a distância é computada como:

$\sqrt{(p_x-q_x)^2 + (p_y-q_y)^2}.$

Alternativamente, expressando-se em coordenadas polares, usando $P=(r_1, \theta_1)\,$ e $Q=(r_2, \theta_2)\,$, a distância é computada como:

$\sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}.$

Distância tridimensional

Para pontos tridimensionais, $P=(p_x,p_y,p_z)\,$ e $Q=(q_x,q_y,q_z)\,$, a distância é computada como:

$\sqrt{(p_x-q_x)^2 + (p_y-q_y)^2+(p_z-q_z)^2}.$

Distância n-dimensional

Para pontos n-dimensionais, $P=(p_1,p_2,...,p_n)\,$ e $Q=(q_1,q_2,...,q_n)\,$, a distância é computada como:

$\sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2+...+(p_n-q_n)^2}.$

Ver também

• Distância de Mahalanobis
• Geometria do táxi
• Métrica (matemática)